Kapitel 9. Partiella differentialekvationer
|
|
- Berit Nyström
- för 8 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Kapitel 9. Partiella differentialekvationer Partiella differentialekvationer är mycket vanliga i den tillämpade fysiken. De bäst kända tillämpningarna är måhända numeriska väderförutsägelser, varvid förändringarna i atmosfären beskrivs med ett system av partiella differentialekvationer med två till tre rumsvariabler, och en tidsvariabel. Utgångsvärdena fås från de senaste meteorologiska observationerna från ett område på jorden. Med en snabb dator (superdator) räcker det kanske någon timme att beräkna atmosfärens flödesförändringar under t.ex. några dagar. Partiella differentialekvationer uppträder också i elasticitetsteorin, i elektromagnetismen (Maxwells ekvationer) och kvantmekaniken. För att lösa dessa partiella differentialekvationer använder man oftast differensmetoder, varvid man lägger ett finmaskigt fyrdimensionellt gitter över det område som man vill studera. Att beräkna funktionsvärden i varje punkt är naturligtvis mycket tidsödande och kräver snabba datorer. Ofta är det dock möjligt att reducera antalet dimensioner genom att utnyttja symmetriegenskaper, eller genom att separera variablerna. Här skall vi nöja oss med att ge en liten inblick i de vanligaste problemen som uppträder. Vetenskapliga beräkningar III, Tom Sundius
2 Som exempel på några av de vanligaste partiella differentialekvationerna av andra ordningen, som uppträder i fysiken, kan vi nämna u 2 u (värmeledningsekvationen), (vågekvationen), och t = κ ρc x 2 2 u t 2 = v2 2 u x 2 (Poissons ekvation). 2 u = ρ ɛ Vi skall för enkelhetens skull anta, att differentialekvationen är linjär och av andra ordningen i derivatorna. Den kan då framställas i formen a 2 u x 2 + 2b 2 u x y + c 2 u y 2 = d, analogt med ekvationen för ett kägelsnitt (ax 2 + 2bxy + cy 2 = d), där a, b, c och d är funktioner av x, y, u, u/ x och u/ y. Vetenskapliga beräkningar III, Tom Sundius
3 Om vi inför beteckningarna p = u/ x och q = u/ y för de partiella derivatorna av u i avseende på koordinaterna x och y, så kan de totala differentialerna i avseende på u, p och q uttryckas du = u u dx + dy = pdx + qdy x y dp = ( ) u dx + ( ) u dy = rdx + sdy x x y x dq = ( ) u dx + ( ) u dy = sdx + tdy, x y y y där de partiella derivatorna av andra ordningen har betecknats med r = 2 u x 2, s = 2 u x y och t = 2 u y 2. Med hjälp av dessa beteckningar kan differentialekvationen uttryckas helt enkelt som ar + 2bs + ct = d. Då vi studerade ordinära differentialekvationer av andra ordningen hade vi två utgångsvillkor, t.ex. y 0 = y(x 0 ) och y 0 = y (x 0 ). När vi nu behandlar partiella differentialekvationer är det naturligt att använda en liknande procedur. Vi kan då försöka ersätta utgångspunkten med en utgångskurva där värdena av u, p och q är kända. Men hur skall vi beräkna r, s och t i en godtycklig punkt på kurvan? Vetenskapliga beräkningar III, Tom Sundius
4 Antag att kurvans ekvation är given i parameterform: x = x(τ), y = y(τ). Eftersom vi antas känna till värdena av u, p och q längs kurvan, så kan vi uttrycka dem som funktioner av parametern τ: u = u(τ), p = p(τ) och q = q(τ). Om primbeteckningen anger derivering i avseende på τ, så följer av formlerna för de totala differentialerna x r +y s = p x s +y t = q ar +2bs +ct = d. Ur detta ekvationssystem kan vi lösa r, s och t i avseende på τ, förutsatt att systemets determinant D 0. Genom uträkning får vi D = ay 2 2bx y + cx 2. Överraskande nog visar det sig, att det intressantaste specialfallet uppträder då D = 0. Lösningarna till denna ekvation utgör två riktningar y /x = dy/dx = (b ± b 2 ac)/a. Egentligen kommer varje punkt i planet att tillordnas två riktningar, som definierar två kurvfamiljer, som kallas karaktäristiker. Vetenskapliga beräkningar III, Tom Sundius
5 Karaktäristikerna är reella, om b 2 ac, men imaginära om b 2 < ac. Härav följer att varje lineär partiell differentialekvation, kan reduceras till någon av tre standardformer (i analogi med motsvarande klassificering av kägelsnitt): a) elliptiska ekvationer med b 2 ac < 0 (ex: Poissons ekvation) b) paraboliska ekvationer med b 2 ac = 0 (ex: värmeledningsekvationen) c) hyperboliska ekvationer med b 2 ac > 0 (ex: vågekvationen) Som man lätt inser, kan en ekvation vara elliptisk inom ett område och hyperbolisk i ett annat. Hyperboliska ekvationer uppträder i samband med oscillationer (t.ex. vågekvationen), och paraboliska har att göra med diffusion. Ett specialfall är Schrödingers ekvation. Elliptiska ekvationer uppträder i samband med jämviktstillstånd och potentialproblem. Vid lösning av differentialekvationer brukar man ofta skilja mellan a) initialvärdesproblem, där alla randvillkor ges i en enda punkt (t.ex. t = 0), så funktionsvärden för t > 0 kan beräknas steg för steg, och b) randvärdesproblem i avs. på en variabel x, där endel randvillkor ges i punkten x = 0, och andra i punkten x = a. Vetenskapliga beräkningar III, Tom Sundius
6 Vid behandlingen av ett initialvärdesproblem kommer man alltså att studera, hur funktionen u utvecklas med tiden. Den numeriska beräkningen strävar efter att beskriva funktionens tidsutveckling med önskad noggrannhet. Vid lösningen av ett randvärdesproblem å andra sidan försöker man beräkna en statisk funktion u(x, y) som satisfierar ekvationen inom en region bestämd av koordinaternas värden. Ändamålet med den numeriska beräkningen är att den skall konvergera mot den rätta lösningen överallt inom denna region. På grund av att de två typerna av problem är så olika, är det därför viktigt att först avgöra vilken av dessa problemtyper som det är fråga om, innan man försöker lösa en partiell differentialekvation. Vetenskapliga beräkningar III, Tom Sundius
7 9.1. Initialvärdesproblem Ett typiskt initialvärdesproblem är den tidsberoende diffusionsekvationen eller den tidsberoende vågekvationen. Några initialvärdesproblem är olinjära, som t.ex. Navier-Stokes ekvation i hydrodynamiken. En ekvation, som innehåller derivator av högre ordning kan skrivas som ett ekvationssystem som endast innehåller derivator av första ordningen. Om vi t.ex. väljer hastigheten v(x, t) = u(x,t) t som en ny variabel i vågekvationen, så kan denna uttryckas ett system av två kopplade differentialekvationer u(x, t) t 1 v(x, t) c 2 t = v(x, t) = v 2 2 u x 2 vilket är ekvivalent med den ursprungliga ekvationen. Detta innebär, att vi kan använda differensekvationer, som endast innehåller derivator av första ordningen i avseende på tiden. Differensekvationerna som vi konstruerar på detta sätt påminner om de ekvationer som härleddes för ordinära differentialekvationer, men de metoder som används för att beräkna differenserna kommer inverka på beräkningens stabilitet och noggrannhet. Vetenskapliga beräkningar III, Tom Sundius
8 Som ett exempel skall vi studera den endimensionella diffusionsekvationen (eller värmeledningsekvationen) u(x, t) t = D 2 u(x, t) x 2 + S(x, t), där u är koncentrationen, D diffusionskonstanten och S(x, t) är källfunktionen. Detta är ett exempel på en parabolisk differentialekvation. Om vi approximerar tidsderivatan med en differens över ett tidsintervall t och andra derivatan i avseende på x med trepunktsformeln över intervallet h (jfr föregående kapitel) så får vi differensekvationen (Eulers metod) u i (t + t) = u i (t) + γ[u i 1 (t) 2u i (t) + u i+1 (t)] + ts i (t), där u i (t) = u(x i, t) och γ = D t/h 2. Vi kan lösa problemet om vi känner begynnelsevärdet u(x, 0) och källfunktionen S(x, t). Emellertid är Eulers metod i detta fall instabil om γ är större än 1 2. Detta kan man visa genom att beräkna förstärkningsfaktorn. En bättre metod är Crank-Nicolsons metod, där Eulers metod har modifierats genom att beräkna medeltalet av den andra derivatan i avseende på x och källfunktionen i punkterna t och t + t: u i (t + t) = u i (t) [δ2 u i (t) + ts i (t)] [δ2 u i (t + t) + ts i (t + t)], där uttrycket δ 2 u i (t) = γ[u i 1 (t) 2u i (t) + u i+1 (t)] är proportionellt mot trepunktsformeln. Vetenskapliga beräkningar III, Tom Sundius
9 Denna iterativa formel kan omskrivas i formen (2 δ 2 )u i (t + t) = (2 + δ 2 )u i (t) + t[s i (t) + S i (t + t)], där alla de termer som skall beräknas nu uppträder i vänstra membrum. Vi skall nu studera mera ingående ett exempel på värmeledning, vars differentialekvation är mycket lik diffusionsekvationen. Låt oss anta, att vi vill beräkna temperaturvariationerna i en homogen vägg, där temperaturen är högre på den ena sidan än på den andra. Om ena sidan av väggen har koordinaten x = 0, och den andra x = 2L, så kan vi dela upp väggen i n 1 stycken jämntjocka skikt med tjockleken h = 2L/n, så att skiktens medelpunkter får koordinaterna x i = ih. Låt oss beteckna temperaturen vid tidpunkten t j = j t med u ij = u(x i, t j ). Värmeflödet förbi en viss punkt är då lika med en konstant (κ = värmeledningsförmågan) gånger u/ x, där derivatan beräknas i ifrågavarande punkt. Om detta tillämpas på ett skikt med mittpunkten x i, finner man att flödet, som kommer in från vänster är κ u x x=x i 1/2, medan flödet som kommer ut till höger är κ u x x=x i+1/2. Om vi approximerar dessa storheter med differenskvoter, så kan värmeflödet genom det i:te skiktet under tidsintervallet t = t j+1 t j uttryckas som Q = ( κ u i,j u i 1,j h + κ u ) i+1,j u i,j t = κ h h (u i+1,j 2u i,j + u i 1,j ) t. Vetenskapliga beräkningar III, Tom Sundius
10 Å andra sidan är flödet genom ett tunt lager approximativt lika med temperaturförändringen i mittpunkten av skiktet. I ett skikt vars mittpunkt är x i, blir värmeflödet således proportionellt mot temperaturförändringen u i,j+1 u i,j, dvs Q = (u i,j+1 u i,j )ρch, där c betecknar det specifika värmet och ρ densiteten. Genom att kombinera de båda ekvationerna fås slutligen u i,j+1 u i,j = κ t ρc h (u 2 i+1,j 2u i,j + u i 1,j ). Genom att dividera med t och låta h, t 0, fås den tidigare angivna värmeledningsekvationen. I fortsättningen skall vi för enkelhetens skull anta κ = ρc. Randvillkoren kan anges på olika sätt, men vi skall här anta, att temperaturen i x = 0 anges av u(0, t) = 1000 sin(8πt/3), och att systemet är helt isolerat i punkten x = 2L (dvs intet värmeflöde: u(2l,t) x = 0). Vi skall också anta begynnelsevillkoret u(x, 0) = 1000 sin(πx/4). Om det första randvillkoret insätts i differensekvationen ovan fås u 0,j = 1000 sin(8πt j /3). Det andra randvillkoret kan beaktas genom att införa en ny punkt x n+1 varvid 0 = u(2l, t j) x u n+1,j u n 1,j 2h eller u n+1,j = u n 1,j j. Vetenskapliga beräkningar III, Tom Sundius
11 Eftersom u n 1,0 är känd, och u n+1,0 = u n 1,0, så kan man beräkna u(x i, t j ) för alla värden (i, j) med hjälp av differensekvationen. Om vi t.ex. väljer h = 1 4 och t/h2 = (alltså t = 32 ) så får vi den enkla ekvationen (obs. att u i,j försvinner) u i,j+1 = 1 2 (u i 1,j + u i+1,j ), 1 i 8, j = 0, 1, 2,... Med dessa värden kan randvillkoren och begynnelsevillkoret uttryckas: u i,0 = 1000 sin(πi/16), u 0,j = 1000 sin(πj/12), u 9,j = u 7,j. Beräkningarna kan lämpligen arrangeras i ett tvådimensionellt schema. Man kan tillämpa några idéer lånade från lösningsmetoderna för ordinära differentialekvationer genom att approximera värmeledningsekvationen med ett system av ordinära differentialekvationer. Detta tillgår så, att man approximerar 2 u/ x 2 med differenser som förut, men approximerar inte tidsderivatan: du i /dt = h 2 (u i 1 2u i + u i+1 ), (i = 1, 2,..., n). Av begynnelse- och randvillkoren följer då u 0 (t) = 1000 sin(8πt/3), u n+1 u n 1 2h = 0 u n+1 = u n 1. Vetenskapliga beräkningar III, Tom Sundius
12 Dessa ekvationer kan uttryckas i vektorform, om man inför beteckningarna u = (u 1, u 2,..., u n ) T, f(t) = h 2 (u 0 (t), 0,..., 0) T, A = : :. : : Vi får då ekvationen du = Au + f(t). dt Man kan visa, att alla egenvärden av matrisen A är reella och negativa. Av Gerschgorins teorem följer att för egenvärdena gäller λ + 2 h 2 2 h 2. Ett av dem är ganska nära 4/h2, vilket leder till att ekvationssystemet är stabilt (i själva verket t.o.m. stelt, ifall h är litet). Om man tillämpar Eulers metod på detta system får man de ursprungliga differensekvationerna. Som vi redan nämnt, är Eulers metod stabil, ifall t/h Noggrannare resultat får man med hjälp av Crank-Nicolsons metod, som är stabil för alla positiva värden av h och t. Vetenskapliga beräkningar III, Tom Sundius
13 9.2. Ett randvärdesproblem För att kunna lösa Poissons ekvation 2 u = f(x, y) behöver vi randvillkor, dvs vi måste ange värden av u eller u/ n på gränsytan av ett slutet område (n betecknar här normalen mot gränsytan). Ett specialfall av Poissons ekvation är Laplaces ekvation, som man får om man sätter f(x, y) = 0. Här har vi alltså att göra med elliptiska differentialekvationer. Låt oss betrakta ett kvadratiskt nät med maskstorleken h, och antaga, att gränsytan antingen består av linjer, som är parallella med koordinataxlarna, eller som bildar 45 vinklar med dem. Vi kan alltså representera funktionen u(x, y) med dess värden i de diskreta punkterna x i = x 0 + ih, i = 0, 1,..., n i y j = y 0 + jh, j = 0, 1,..., n j. Vetenskapliga beräkningar III, Tom Sundius
14 På ett sådant nät kan man approximera Laplace operatorn 2 med fempunktsoperatorn 2 5 : som i stencilformat kan skrivas 2 u = 2 u x u y u ij = u i+1,j 2u i,j + u i 1,j h 2 + u i,j+1 2u i,j + u i,j 1 h 2 = u i+1,j + u i 1,j + u i,j+1 + u i,j 1 4u i,j h = 1 h 2 där beteckningarna framgår av figuren nedan: h, Vetenskapliga beräkningar III, Tom Sundius
15 Härav följer differensekvationen u i+1,j + u i 1,j + u i,j+1 + u i,j 1 4u i,j = h 2 f i,j. Emedan differensekvationen ovan grundar sig på en approximation av derivatorna som har ett avrundningsfel av storleksordningen O(h 2 ), så kan man vänta sig ett fel av motsvarande storleksordning i lösningen. Om man numrerar punkterna i nätet enligt ett visst schema, så kan man bilda en vektor av n funktionsvärden u = (u 1, u 2,..., u n ) T. Detta går till så, att man transformerar det tvådimensionella nätet till en endimensionell räcka genom definitionen k i(n j + 1) + j, i = 0, 1,..., n i, j = 0, 1,..., n j Indexet i kommer alltså att växa snabbast längs de kolumner, som representerar y värdena. Differensekvationen ovan kan alltså skrivas i formen u k+nj +1 + u k nj 1 + u k+1 + u k 1 4u k = h 2 f k Denna ekvation gäller dock endast i de inre punkterna i = 1, 2,..., n i 1; j = 1, 2,..., n j 1. De övriga punkterna är randpunkter, där antingen u eller dess derivata är känd. Vetenskapliga beräkningar III, Tom Sundius
16 Genom att kombination av denna information kan vi uttrycka differensekvationen i formen där A är en matris som är tridiagonal med fransar. Au = h 2 f, I Dirichlets problem är endast värdena av funktionen u bestämda på gränsytan. Därvid gäller följande villkor: a) f består dels av f i,j, och dels av u-värden på gränsytan. b) A i,i = 4 i. c) A i,j = 1 ifall punkten i ligger intill punkten j. I annat fall är A i,j = 0. Av detta följer A i,j = A j,i, dvs A är en symmetrisk matris. d) Ingen punkt gränsar till fler än fyra punkter, varav följer, att A måste vara en bandmatris. Vetenskapliga beräkningar III, Tom Sundius
17 En sådan matris kan t.ex. se ut såhär: A = För att lösa differensekvationerna, använder man ofta Gauss elimineringsmetod, om inte antalet punkter är mycket stort. Ibland måste man dock välja h så litet, att Gauss metod inte längre lönar sig. I sådana fall är det mera praktiskt att använda successiv överrelaxation (jfr iterativ lösning av ekvationssystem). I denna metod används formeln u (n+1) ij = u (n) ij + ω 4 (u(n+1) i 1,j + u(n+1) i,j 1 + u(n) i+1,j + u(n) i,j+1 4u(n) ij h 2 f ij ) där ω är en relaxationsparameter. Vetenskapliga beräkningar III, Tom Sundius
18 Punkterna i nätet genomgås här i den ordning de blivit numrerade. Iterationsprocessen konvergerar då 0 < ω < 2. Om antalet punkter i nätet är mycket stort, använder man ett värde på ω nära 2. I litteraturen kan man finna regler för hur punkterna borde ordnas, och hur värdet av ω skall väljas för att metoden skall vara effektiv. En god strategi för randvärdesproblem är, att man utgår från ett stormaskigt nät, och använder Gauss elimineringsmetod. Om noggrannheten är otillräcklig, så kan man använda de resultat man uppnått för att konstruera en god utgångspunkt för en ny iterationsprocess med ett finare nät. Metoderna som här beskrivits är också till nytta vid behandlingen av mera komplicerade differentialekvationer. Det finns metoder som är effektivare, men mer komplicerade, såsom t.ex. de symmetriska successiva överrelaxationsmetoderna, som innehåller metoder att accelerera konvergensen. Vid lösningen av Poissons ekvation kan man också använda Fouriermetoder, som vi skall närmare studera i nästa kapitel. Vetenskapliga beräkningar III, Tom Sundius
19 När man löser Poissons ekvation är det ofta fördelaktigare att i stället för fempunktsoperatorn använda niopunktsoperatorn: 2 9 = u i+1,j+1 + u i 1,j 1 + u i+1,j 1 + u i 1,j+1 4u ij 2h 2 = 1 6h 2(u i+1,j 1 + u i 1,j 1 + u i+1,j+1 + u i 1,j+1 + 4u i+1,j + 4u i 1,j + 4u i,j+1 + 4u i,j 1 20u i,j ) = h h Genom att utnyttja Poissons ekvation ( 2 u = f) kan vi nämligen visa, att 2 9 u = 2 u + h2 4 u 12 + O(h 4 ) = f + h2 2 f 12 + O(h 4 ). Om vi således använder differensekvationen 2 9 u ij = f ij + h f ij/12 istället för den ursprungliga, så blir avkortningsfelet endast O(h 4 ). Vetenskapliga beräkningar III, Tom Sundius
Vetenskapliga beräkningar III 139
Vetenskapliga beräkningar III 139 Kapitel 9. Partiella differentialekvationer. Partiella differentialekvationer är mycket vanliga i den tillämpade fysiken. De bäst kända tillämpningarna är måhända numeriska
Läs merEgenvärdesproblem för matriser och differentialekvationer
CTH/GU STUDIO 7 TMV36b - 14/15 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Egenvärdesproblem för matriser och differentialekvationer Vi skall se lite på egenvärdesproblem för matriser och differentialekvationer.
Läs merFEM1: Randvärdesproblem och finita elementmetoden i en variabel.
MVE255/TMV191 Matematisk analys i flera variabler M/TD FEM1: Randvärdesproblem och finita elementmetoden i en variabel. 1 Inledning Vi ska lösa partiella differentialekvationer PDE, dvs ekvationer som
Läs merFYSIKENS MATEMATISKA METODER
FYSIKENS MATEMATISKA METODER TREDJE UPPLAGAN TORBJÖRN ERIKSON HENRIK CHRISTIANSSON ERIK LINDAHL JOHAN LINDE LARS SANDBERG MATS WALLIN mfl Boken är typsatt i L A TEX med 11pt Times Printed in Sweden by
Läs merFöreläsning 14: Exempel på randvärdesproblem. LU-faktorisering för att lösa linjära ekvationssystem.
11 april 2005 2D1212 NumProg för T1 VT2005 A Föreläsning 14: Exempel på randvärdesproblem. LU-faktorisering för att lösa linjära ekvationssystem. Kapitel 8 och 5 i Q&S Stationär värmeledning i 1-D Betrakta
Läs merOmtentamen i DV & TDV
Umeå Universitet Institutionen för Datavetenskap Gunilla Wikström (e-post wikstrom) Omtentamen i Teknisk-Vetenskapliga Beräkningar för DV & TDV Tentamensdatum: 2006-06-05 Skrivtid: 9-15 Hjälpmedel: inga
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIAL EKVATIONER i) En differentialekvation
Läs merFMNF15 HT18: Beräkningsprogrammering Numerisk Analys, Matematikcentrum
Johan Helsing, 11 oktober 2018 FMNF15 HT18: Beräkningsprogrammering Numerisk Analys, Matematikcentrum Inlämningsuppgift 3 Sista dag för inlämning: onsdag den 5 december. Syfte: att träna på att hitta lösningar
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 11-14, 16/11-28/
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Transformmetoder, 5 hp gy, IT, W, X 2011-10-26 Sammanfattning av föreläsningarna 11-14, 16/11-28/11 2012. Här lär vi oss använda transformer för att
Läs merOmtentamen i DV & TDV
Umeå Universitet Institutionen för Datavetenskap Gunilla Wikström (e-post wikstrom) Omtentamen i Teknisk-Vetenskapliga Beräkningar för DV & TDV Tentamensdatum: 2005-06-07 Skrivtid: 9-15 Hjälpmedel: inga
Läs merFöreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.
Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.1 Delkapitlet introducerar en del terminologi och beteckningar som används.
Läs mer9.3. Egenvärdesproblem
9.3. Egenvärdesproblem Problem som innehåller en parameter men endast kan lösas för speciella värden av denna parameter kallas egenvärdesproblem. Vi skall här nöja oss med ett exempel på ett dylikt problem.
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner. ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER
Läs merTATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer
TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer Johan Thim 0 januari 207 Introduktion En differentialekvation (DE) i en variabel är en ekvation som innehåller både
Läs merKapitel 8. Lösning av ordinära differentialekvationer
Kapitel 8. Lösning av ordinära differentialekvationer Eftersom endast ett mindre antal differentialekvationer kan lösas analytiskt, är numeriska lösningsmetoder ofta av stor betydelse. Nära besläktade
Läs merTavelpresentation - Flervariabelanalys. 1E January 2017
Tavelpresentation - Flervariabelanalys 1E January 2017 1 Innehåll 1 Partiella derivator 3 2 Differentierbarhet 3 3 Kedjeregeln 4 3.1 Sats 2.3.4............................... 5 3.2 Allmänna kedjeregeln........................
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER i) En differentialekvation
Läs mer1 Cirkulation och vorticitet
Föreläsning 7. 1 Cirkulation och vorticitet Ett mycket viktigt teorem i klassisk strömningsmekanik är Kelvins cirkulationsteorem, som man kan härleda från Eulers ekvationer. Teoremet gäller för en inviskös
Läs merTentamen, del 2 DN1240 Numeriska metoder gk II för F
Tentamen, del DN140 Numeriska metoder gk II för F Fredag 14 december 01 kl 14 17 Lösningar DEL : Inga hjälpmedel. Rättas endast om del 1 är godkänd. Betygsgränser inkl bonuspoäng: 10p D, 0p C, 30p B, 40p
Läs merFFM234, Datoruppgift 2: Värmeledning
FFM234, Datoruppgift 2: Värmeledning Christian Forssén 1 Ulf Torkelsson 2 1 Institutionen för fysik, Chalmers, Göteborg, Sverige, Email: christian.forssen@chalmers.se 2 Astrofysik, Chalmers och Göteborgs
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER i) En differentialekvation
Läs mer= y(0) för vilka lim y(t) är ändligt.
Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF633 Differentialekvationer I och SF637 Differentialekvationer och transformer III Lördagen den 4 februari, kl 4-9 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa
Läs merNumerisk lösning till den tidsberoende Schrödingerekvationen.
Numerisk lösning till den tidsberoende Schrödingerekvationen. Det är enbart i de enklaste fallen t ex när potentialen är sträckvis konstant som vi kan lösa Schrödingerekvationen analytiskt. I andra fall
Läs merx(t) I elimeringsmetoden deriverar vi den första ekvationen och sätter in x 2(t) från den andra ekvationen:
Differentialekvationer II Modellsvar: Räkneövning 6 1. Lös det icke-homogena linjära DE-systemet ( ( 0 e x t (t = x(t + 1 3 e t med elimineringsmetoden. Lösning: den explicita formen av DE-systemet är
Läs merPartiella differentialekvationer av första ordningen
Partiella differentialekvationer av första ordningen Kjell Holmåker 23 februari 2005 En kvasilinjär partiell differentialekvation av första ordningen är av formen P (x, y, u)u x + Q(x, y, u)u y = R(x,
Läs merTMA226 datorlaboration
TMA226 Matematisk fördjupning, Kf 2019 Tobias Gebäck Matematiska vetenskaper, Calmers & GU Syfte TMA226 datorlaboration Syftet med denna laboration är att du skall öva formuleringen av en Finita element-metod,
Läs merTeorifrågor. 6. Beräkna konditionstalet för en diagonalmatris med diagonalelementen 2/k, k = 1,2,...,20.
Teorifrågor Störningsanalys 1. Värdet på x är uppmätt till 0.956 med ett absolutfel på högst 0.0005. Ge en övre gräns för absolutfelet i y = exp(x) + x 2. Motivera svaret. 2. Ekvationen log(x) x/50 = 0
Läs merAkademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA132 Numeriska Metoder Avdelningen för tillämpad matematik Datum: 2 juni 2014
MÄLARDALENS HÖGSKOLA TENTAMEN I MATEMATIK Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA32 Numeriska Metoder Avdelningen för tillämpad matematik Datum: 2 juni 204 Examinator: Karl Lundengård Skrivtid:
Läs merTentamen, del 2 Lösningar DN1240 Numeriska metoder gk II F och CL
Tentamen, del Lösningar DN140 Numeriska metoder gk II F och CL Lördag 17 december 011 kl 9 1 DEL : Inga hjälpmedel Rättas ast om del 1 är godkänd Betygsgränser inkl bonuspoäng: 10p D, 0p C, 30p B, 40p
Läs merInstitutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Fredag 30 augusti 2002 TID:
Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 22-8-3 DAG: Fredag 3 augusti 22 TID: 8.45-2.45 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 772 94 (ankn. 94) Förfrågningar:
Läs merSVAR: Det är modell 1 som är rimlig för en avsvalningsprocess. Föremålets temperatur efter lång tid är 20 grader Celsius.
Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF633 Differentialekvationer I Onsdagen den maj 03, kl 0800-300 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar
Läs mer= e 2x. Integrering ger ye 2x = e 2x /2 + C, vilket kan skrivas y = 1/2 + Ce 2x. Här är C en godtycklig konstant.
Lösningsförslag till Tentamen, SF1633, Differentialekvationer I den 19 december 216 kl 8: - 13: För godkänt (betyg E krävs tre godkända moduler från del I Varje moduluppgift består av tre frågor För att
Läs mery + 1 y + x 1 = 2x 1 z 1 dy = ln z 1 = x 2 + c z 1 = e x2 +c z 1 = Ce x2 z = Ce x Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Vera Djordjevic PROV I MATEMATIK Civilingenjörsprogrammen Ordinära differentialekvationer 2007-10-12 Skrivtid: 9-14. Tillåtna hjälpmedel: Mathematics Handbook
Läs merDel I: Lösningsförslag till Numerisk analys,
Lösningsförslag till Numerisk analys, 2016-08-22. Del I: (1) Nedan följer ett antal påståenden. Använd nyckelbegreppen därunder och ange det begrepp som är mest lämpligt. Skriv rätt bokstav (a)-(l) i luckan
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 13-3-1 DEL A 1. En svängningsrörelse beskrivs av ( πx ) u(x, t) = A cos λ πft där amplituden A, våglängden λ och frekvensen f är givna konstanter.
Läs merSF1626 Flervariabelanalys
1 / 14 SF1626 Flervariabelanalys Föreläsning 7 Henrik Shahgholian Vid Institutionen för matematik, KTH VT 2018, Period 3 2 / 14 SF1626 Flervariabelanalys Dagens Lektion Kap 12.8 1. Implicit definierade
Läs merTentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1.
Institutionen för matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola Niklas Eriksen Tentamen i tmv6c och tmv5c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt Lösningar 9--6. Lös initialvärdesproblemet x
Läs merD 1 u(x, y) = e x (1 + x + y 2 ), D 2 u(x, y) = 2ye x + 1, (x, y) R 2.
Differentialekvationer I Modellsvar till räkneövning 4 De frivilliga uppgifterna U1 och U2 påminner om nyttiga kunskaper, och räknas inte för extrapoäng (fråga vid behov). U1. Sök en potentialfunktion
Läs merInstitutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.
Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF644) /6 29. Bestäm med derivatans definition d dx ex. Derivatans definition är f (x) = lim h h ( f(x + h)
Läs merODE av andra ordningen, och system av ODE
ODE av andra ordningen, och system av ODE Exempel på di erentialekvation av andra ordningen (innehåller andra derivata) Pendel beskrives av Newtons andra lag: Kraft = massa Acceleration Acceleration =
Läs merVi betraktar homogena partiella differentialekvationer (PDE) av andra ordningen
Produktlösningar Vi betraktar homogena partiella differentialekvationer (PDE) av andra ordningen u( u( u( u( u( A B C D E 0 (ekv 0) y y y som är definierad på ett (ändligt eller oändlig rektangulär område
Läs merÖvningar. c) Om någon vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v 1,..., v m på precis ett sätt så. m = n.
Övningar Linjära rum 1 Låt v 1,, v m vara vektorer i R n Ge bevis eller motexempel till följande påståenden Satser ur boken får användas a) Om varje vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v
Läs merMATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt
MATEMATIK GU H4 LLMA6 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 24 I block 5 ingår följande avsnitt i Stewart: Kapitel 2, utom avsnitt 2.4 och 2.6; kapitel 4. Block 5, översikt Första delen av block 5
Läs merInstitutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18.
Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 9--6 DAG: Fredag 6 januari 9 TID: 4. - 8. SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 Förfrågningar: Ivar Gustafsson
Läs merCHALMERS Finit Elementmetod M3 Institutionen för tillämpad mekanik. Teorifrågor
Teorifrågor : Visa att gradienten till en funktion pekar i den riktning derivatan är störst och att riktingen ortogonalt mot gradienten är tangent till funktionens nivåkurva. Visa hur derivatan i godtycklig
Läs merRita även upp grafen till Fourierseriens summa på intervallet [ 2π, 3π], samt ange summans värde i punkterna π, 0, π, 2π. (5) S(t) = c n e int,
Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 003-08-5, kl. 14.00 19.00. 5B10/ Diff och Trans del, för F och T. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. För godkänt betyg 3) krävs 18 poäng, medan
Läs merSF1633, Differentialekvationer I Tentamen, torsdagen den 7 januari Lösningsförslag. Del I
Institutionen för matematik, KTH Serguei Shimorin SF6, Differentialekvationer I Tentamen, torsdagen den 7 januari 26 Lösningsförslag Del I Moduluppgift En liter av lösningen som innehåller 2 gram av kemiska
Läs mer3 differensekvationer med konstanta koefficienter.
Matematiska institutionen Carl-Henrik Fant 17 november 2000 3 differensekvationer med konstanta koefficienter 31 T Med en menar vi en av rella eller komplexa tal varje heltal ges ett reellt eller komplext
Läs merLennart Carleson. KTH och Uppsala universitet
46 Om +x Lennart Carleson KTH och Uppsala universitet Vi börjar med att försöka uppskatta ovanstående integral, som vi kallar I, numeriskt. Vi delar in intervallet (, ) i n lika delar med delningspunkterna
Läs mer= 1, fallet x > 0 behandlas pga villkoret. x:x > 1
Lösningsförslag till tentamensskrivning i Diff & Trans I, 5B00 Torsdagen den 0 januari 00, kl 400-900 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och
Läs merFlervariabelanalys E2, Vecka 3 Ht08
Flervariabelanalys E2, Vecka 3 Ht8 Omfattning och innehåll 2.7 Gradienter och riktningsderivator. 2.8 Implicita funktioner 2.9 Taylorserier och approximationer 3. Extremvärden 3.2 Extremvärden under bivillkor
Läs mer. (2p) 2x + 2y + z = 4 y + 2z = 2 4x + 3y = 6
Kursen bedöms med betyg, 4, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg För godkänt betyg krävs minst 4 poäng från uppgifterna -7 Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng För var och en av
Läs merSammanfattning av ordinära differentialekvationer
Sammanfattning av ordinära differentialekvationer Joakim Edsjö 1 Institutionen för teoretisk fysik, Uppsala Universitet Telefon: 018-18 32 50 eller 018-18 76 30 19 februari 1995 1 Första ordningens differentialekvationer
Läs merInterpolation Modellfunktioner som satisfierar givna punkter
Interpolation Modellfunktioner som satisfierar givna punkter Några tillämpningar Animering rörelser, t.ex. i tecknad film Bilder färger resizing Grafik Diskret representation -> kontinuerlig 2 Interpolation
Läs merDagens teman. Linjära ODE-system av ordning 1:
Dagens teman Linjära ODE-system av ordning 1: Egenvärdesmetoden. Lösning av homogena system x 1 (t) = a 11 x 1 (t) + + a 1n x n (t) x 2 (t) = a 21 x 1 (t) + + a 2n x n (t) x n (t) = a n1 x 1 (t) + + a
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 Differentialekvationer Inledning DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera
Läs mer2D1250 Tillämpade numeriska metoder II vt 06 Nada, J.Op p 1 (5) Om Verlet s metod
Nada, J.Op p 1 (5) Om Verlet s metod Eftersom det blev något fel på tavelanteckningarna 30/3 ψ-faktorn nedan tappade ett h i nämnaren - ges här en korrekt version. Vi studerar en harmonisk oscillator med
Läs merTentamen SF1633, Differentialekvationer I, den 23 oktober 2017 kl
Matematiska Institutionen, KTH Tentamen SF633, Differentialekvationer I, den 23 oktober 27 kl 8.- 3.. Examinator: Pär Kurlberg OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen. För full poäng krävs
Läs merKonvergens för iterativa metoder
Konvergens för iterativa metoder 1 Terminologi Iterativa metoder används för att lösa olinjära (och ibland linjära) ekvationssystem numeriskt. De utgår från en startgissning x 0 och ger sedan en följd
Läs merLaboration 6. Ordinära differentialekvationer och glesa system
1 DN1212 VT2012 för T NADA 20 februari 2012 Laboration 6 Ordinära differentialekvationer och glesa system Efter den här laborationen skall du känna igen problemtyperna randvärdes- och begynnelsevärdesproblem
Läs mer, x > 0. = sinx. Integrera map x : x 3 y = cosx + C. 1 cosx x 3. = kn där k är. k = 1 22 ln 1 2 = 1 22 ln2, N(t) = N 0 e t. 2 t 32 N 1.
Lösningsförslag till tentamensskrivning i Diff & Trans I, 5B Lördagen den januari, kl 9-4 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och resonemang är
Läs merNUMPROG, 2D1212, vt Föreläsning 9, Numme-delen. Stabilitet vid numerisk behandling av diffekvationer Linjära och icke-linjära ekvationssystem
NUMPROG, 2D1212, vt 2005 Föreläsning 9, Numme-delen Stabilitet vid numerisk behandling av diffekvationer Linjära och icke-linjära ekvationssystem Då steglängden h är tillräckligt liten erhålles en noggrann
Läs mer1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u =
Kursen bedöms med betyg,, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna
Läs merFel- och störningsanalys
Fel- och störningsanalys 1 Terminologi Antag att x är ett exakt värde och x är en approximation av x. Vi kallar då absoluta felet i x = x x, relativa felet i x = x x x. Ofta känner vi inte felet precis
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://w3.msi.vxu.se/users/pa/vektorgeometri/gymnasiet.html Institutionen för datavetenskap, fysik och matematik Linnéuniversitetet Vektorer i planet
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 533 DEL A Planet H ges av ekvationen 3x y + 5z + a) Bestäm en linje N som är vinkelrät mot H ( p) b) Bestäm en linje L som inte skär planet H ( p)
Läs merTENTAMEN I GRUNDKURS I NUMERISKA METODER - DEL 20
Numerisk Analys - Institutionen för Matematik KTH - Royal institute of technology 2016-05-31, kl 08-11 SF1547+SF1543 TENTAMEN I GRUNDKURS I NUMERISKA METODER - DEL 20 Uppgift 1 Man vill lösa ekvationssystemet
Läs merVectorer, spannet av vektorer, lösningsmängd av ett ekvationssystem.
Vectorer, spannet av vektorer, lösningsmängd av ett ekvationssystem. Begrepp som diskuteras i det kapitlet. Vektorer, addition och multiplikation med skalärer. Geometrisk tolkning. Linjär kombination av
Läs merLaboration 2 Ordinära differentialekvationer
Matematisk analys i en variabel, AT1 TMV13-1/13 Matematiska vetenskaper Laboration Ordinära differentialekvationer Vi skall se på begynnelsevärdesproblem för första ordningens differentialekvation u =
Läs merKurs DN1215, Laboration 3 (Del 1): Randvärdesproblem för ordinära differentialekvationer
Kurs DN1215, Laboration 3 (Del 1): Randvärdesproblem för ordinära differentialekvationer Michael Hanke, Johan Karlander 2 april 2008 1 Beskrivning och mål Matematiska modeller inom vetenskap och teknik
Läs merd dx xy ( ) = y 2 x, som uppfyller villkoret y(1) = 1. x, 0 x<1, y(0) = 0. Bestäm även y( 2)., y(0) = 0 har entydig lösning.
Bestäm den lösning till differentialekvationen Ange även lösningens eistensintervall SF6 Differentialekvationer I MODULUPPGIFTER Första ordningens differentialekvationer med modeller d d y ( ) = y 2, som
Läs merRita även grafen till Fourierserien på intervallet [ 2π, 4π]. (5) 1 + cos(2t),
Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 24-1-13, kl. 14. 19.. 5B122/2 Diff och Trans 2 del 2, för F, E, T. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. För godkänt betyg 3 krävs 18 poäng, medan
Läs merApproximation av funktioner
Vetenskapliga beräkningar III 8 Kapitel Approximation av funktioner Vi skall nu övergå till att beskriva, hur man i praktiken numeriskt beräknar funktioner I allmänhet kan inte ens elementära funktioner
Läs mer1. Beräkna volymen av det område som begränsas av paraboloiden z = 4 x 2 y 2 och xy-planet. Lösning: Volymen erhålles som V = dxdydz.
Lösningsförslag till tentamensskrivning i Matematik IV, F636(5B0,5B30). Tisdagen den januari 0, kl 400-900. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar
Läs merTentamen i Matematik 1 DD-DP08
Tentamen i Matematik DD-DP08 (Kursnummer HF90) 2009-03-2, kl. 3:5-7:00 Hjälpmedel: endast bifogat formelblad. Till samtliga inlämnade uppgifter fordras fullständiga lösningar. Svaren ska alltid förkortas
Läs merOändligtdimensionella vektorrum
Oändligtdimensionella vektorrum Vi har i den här kursen huvudsakligen studerat ändligtdimensionella vektorrum. Dessa är mycket användbara objekt och matriskalkyl ger en bra metod att undersöka dom med.
Läs merKapitel 4. Iterativ lösning av ekvationer
Kapitel 4. Iterativ lösning av ekvationer Vi skall nu undersöka, har man löser numeriskt ekvationer av formen f(x) = 0. Dylika ekvationer kallas också olinjära, eftersom funktionen oftast har ett olinjärt
Läs merSF1600, Differential- och integralkalkyl I, del 1. Tentamen, den 9 mars Lösningsförslag. f(x) = x x
Institutionen för matematik, KTH Serguei Shimorin SF6, Differential- och integralkalkyl I, del Tentamen, den 9 mars 9 Lösningsförslag Funktionen y = fx definieras för x >, x som x + x fx = x a Definiera
Läs merSekant och tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren).
Derivata Sekant oc tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren). I figuren ovan finns även en tangent inritad. Som nästa ska vi titta på
Läs merLösningsförslag till tentamen i SF1683 och SF1629 (del 1) 18 december xy = y2 +1
KTH, Matematik Maria Saprykina Lösningsförslag till tentamen i SF1683 och SF1629 (del 1) 18 december 2017 Tentamen består av sex uppgifter där vardera uppgift ger maximalt fyra poäng. Preliminära betygsgränser:
Läs merProjekt om Finita Elementmetoden i kursen PDE F, TMA690, HT 2012
Projekt om Finita Elementmetoden i kursen PDE F, TMA690, HT 2012 Hermann Douanla, Fredrik Lindgren, Matteo Molteni 6 november 2012 Innehåll 1 Syfte och mål 2 2 Generella riktlinjer 2 3 Projekt 3 3.1 Värmeledning
Läs merFel- och störningsanalys
Fel- och störningsanalys Terminologi Antag att x är ett exakt värde och x är en approximation av x. Vi kallar då absoluta felet i x = x x, relativa felet i x = x x x. Ofta känner vi inte felet precis utan
Läs merÖvningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:
MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2 Senast korrigerad: 2006-02-10 Övningar Linjära rum 1. Låt v 1,..., v m vara vektorer i R n. Ge bevis eller motexempel till
Läs mer2D1240 Numeriska metoder gk II för T2, VT Störningsanalys
Olof Runborg ND 10 februari 2004 2D1240 Numeriska metoder gk II för T2, VT 2004 Störningsanalys Indata till ett numeriskt problem innehåller i praktiken alltid (små) fel.felen kan bero på tex mätfel, avrundningsfel
Läs merLösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM232)
Lösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM232) Tid och plats: Lösningsskiss: Tisdagen den 20 december 2016 klockan 0830-1230 i M-huset Christian Forssén Detta är enbart en skiss av den
Läs merSammanfattning (Nummedelen)
DN11 Numeriska metoder och grundläggande programmering Sammanfattning (Nummedelen Icke-linjära ekvationer Ex: y=x 0.5 Lösningsmetoder: Skriv på polynomform och använd roots(coeffs Fixpunkt x i+1 =G(x i,
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt.
1. Beräkna integralen medelpunkt i origo. SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 218-3-14 D DEL A (x + x 2 + y 2 ) dx dy där D är en cirkelskiva med radie a och Lösningsförslag.
Läs merf(x + h) f(x) h f(x) f(x h) h
NUMPROG, D för M, vt 008 Föreläsning N: Numerisk derivering och integrering Inledning: numerisk lösning av analytiska problem Skillnader mellan matematisk analys och numeriska metoder. Grundläggande begrepp
Läs merLäsanvisningar till: R.A. Adams, Calculus, a Complete Course, 4th ed.
Läsanvisningar till: R.A. Adams, Calculus, a Complete Course, 4th ed. Del 2 (funktioner av flera variabler). Omfattning: Kapitel 8.2, 8.3 t.o.m. s 497, 8.4, endast båglängd, 8.5 tom s. 506, 10.1, 10.5,
Läs merz = z 2. z = z 2 z /z 2 = 1 1 z = x + c z(x) = x + c = ln x + c + c 2 y(x) = ln y = 0 y(x) = c 2
Differentialekvationer II Modellsvar: Räkneövning 1 1. Lös differentialekvationen y = (y ) 2 med hjälp av substitutionen z(x) = y (x). Kommentar: detta är standard substitutionen för differentialekvationer
Läs mer1 x. SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 26-3-2 DEL A. Låt D vara fyrhörningen med hörn i punkterna, ), 6, ),, 5) och 4, 5). a) Skissera fyrhörningen D och beräkna dess area. p) b) Bestäm
Läs mer6.3. Direkta sökmetoder
6.3. Direkta sökmetoder Förutom de nyss nämnda metoderna för att uppsöka ett minimum av en funktion av en variabel finns det en enkel metod som baserar sig på polynomapproximation av funktionen. Om vi
Läs merFouriers metod, egenfunktionsutvecklingar.
Vårterminen 2002 KONTINUERLIGA SYSTEM, några viktiga begrepp och metoder i kap 3 och H (partiellt) Fouriers metod, egenfunktionsutvecklingar Värmeledning i en begränsad stav med variabelseparation Problem:
Läs merEuler-Mac Laurins summationsformel och Bernoulliska polynom
46 Euler-Mac Laurins summationsformel och Bernoulliska polynom Lars Hörmander Lunds Universitet Datorer gör det möjligt att genomföra räkningar som tidigare varit otänkbara, exempelvis att beräkna summan
Läs merPartiella differentialekvationer (TATA27)
Partiella differentialekvationer (TATA27) Linköpings universitet Vår termin 2015 Inneåll 1 Introduktion 1 1.1 Notation............................................. 1 1.2 Differentialekvationer......................................
Läs mer} + t { z t -1 - z t (16-8)t t = 4. d dt. (5 + t) da dt. {(5 + t)a} = 4(5 + t) + A = 4(5 + t),
Tentamensskrivning i Matematik IV, 5B110 Måndagen den 1 oktober 005, kl 1400-1900 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och resonemang är lätta
Läs merEn trafikmodell. Leif Arkeryd. Göteborgs Universitet. 0 x 1 x 2 x 3 x 4. Fig.1
10 En trafikmodell Leif Arkeryd Göteborgs Universitet Tänk dig en körfil på en landsväg eller motorväg, modellerad som x axeln i positiv riktning (fig.1), och med krysset x j som mittpunkten för bil nummer
Läs mer1. Vi skriver upp ekvationssystemet i matrisform och gausseliminerar tills vi når trappstegsform,
Lösningsförslag, Matematik 2, E, I, M, Media och T, 2 2 8.. Vi skriver upp ekvationssystemet i matrisform och gausseliminerar tills vi når trappstegsform, 2 2 2 a 2 2 2 a 2 2-2 2 a 7 7 2 a 7 7-7 2 a +
Läs merTentamen i matematik. f(x) = 1 + e x.
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 202-03-23 kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Läs merKapitel 3. Approximation av funktioner
Kapitel 3. Approximation av funktioner Vi skall nu övergå till att beskriva, hur man i praktiken numeriskt beräknar funktioner. I allmänhet kan inte ens elementära funktioner såsom sinus- och cosinusfunktionerna
Läs mer