Bild + bild + bild är en summa av bilder.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Bild + bild + bild är en summa av bilder."

Transkript

1 Bild + bild + bild är en summa av bilder.

2 4 talföljder och summor Inledande aktivitet Undersök hittar du mönstret? Vilken figur, vilka bokstäver eller vilket tal motsvarar frågetecknet? a) b) A B C Ö A B Ä Ö A? c) 3, 4, 6, 9, 3, 8,? De tre första kvadrattalen kan beskrivas med följande figur a) Vilka är de fjärde och femte kvadrattalen? b) Vilket är det n:te kvadrattalet? 3 De tre första triangeltalen kan beskrivas med följande figur.? b) Det n:te triangeltalet kan beräknas med formeln T n = nn ( +) Kontrollera att formeln stämmer för de första fem triangeltalen. 4 Ett A4-papper är cirka 0, mm tjockt. a) Hur tjockt blir papperet om vi viker det på mitten 4 gånger? b) Hur tjockt blir det om vi viker det n gånger? c) Hur många gånger skulle vi behöva vika papperet för att det ska bli 0 cm tjockt? (Går det?) 5 I IQ-test finns ofta uppgifter där det gäller att upptäcka samband mellan tal. Här följer två eempel. Kan du lösa dem? a) Vilka tal fattas? ? a) Vilka är de fjärde och femte triangeltalen? ? 343 b) Finn nästa tal och bokstav! 5 Y 4 P 3 I D 4 talföljder och summor 93

3 4. Talföljder Vad menas med en talföljd? En talföljd är en ändlig eller oändlig följd av tal, uppställda i en bestämd ordning och enligt en bestämd regel. Varje tal har alltså ett bestämt ordningsnummer. Eempel, 4, 9, 6, 5,, 00 Talföljden är ändlig. Talföljden ges av formeln a = n n, där n =,, 3,, 0 Det första talet är =. Vi skriver a =. Utläses a ett är lika med ett. Det andra talet är = 4. Vi skriver a = 4. Utläses a två är lika med fyra. Det tionde talet är a 0 = 0 = 00. Eempel 7, 9,, 3, 5, Talföljden är oändlig. Det första talet a = 7 Det andra talet a = 7+ = 7+ = 9 Det tredje talet a 3 = 7+ = 7+ 4 = Det fjärde talet a 4 = 7+ 3 = 7+ 6 = 3 Talen ges av formeln a = 7+ ( n n ) 40 Ange de tre första talen i den talföljd där det n:te talet är a n = 3 + 4n. Det första talet är a = = 7 Det andra talet är a = = Det tredje talet är a 3 = = 5 Svar: Formeln a n = 3 + 4n ger talföljden 7,, 5, 9, 40 Vilket ordningsnummer har talet 80 i talföljden a n? n = Vi löser ekvationen n = = 0 n 30 0 = n n = 6 Svar: Talet 80 har ordningsnummer talföljder

4 403 Finn en enkel formel för det n:te talet a n i talföljden a), 3, 5, 7, 9, b), 4, 9, 6, 5, a) Vi får nästa tal genom att hela tiden lägga till. För att få t e det femte talet, börjar vi med och lägger till 4, d v s a 5 = + 8 = 9. På samma sätt får vi det n:te talet a n så här: a n = + (n ) = + n = n som ger de udda talen. b) I nämnaren har vi kvadraterna på termernas ordningsnummer. Eempelvis är a 5 = 5. Det betyder att a n = n. 404 Ange de fyra första talen i den talföljd där a) a = 5 n n c) a = n n b) a = 3 n n d) a = n( n + ) n 405 Beräkna det tolfte talet, dvs a, i talföljden n a) a n = 3 b) a = 64 ( n n + ) 409 Folkmängden i en stad var år 000. Ange ett uttryck för folkmängden P n, där n är antalet år efter 000, om a) ökningen är personer per år b) ökningen är % per år. 406 Ange en formel för antal punkter i figur nummer n Vilket ordningsnummer har talet 00 i talföljden a) a n = 0 + 4n b) a n = n(n + ) + 0? 408 Finn en formel för det n:e talet a n i talföljden a) 3, 7,, 5, 9, b), 3, 9, 7, c) 4, 8,, 6, d), 5, 0, 7, 6, 40 Finn två olika formler som ger en talföljd som börjar så här:, 4, 8, 4 Skriv en formel A n som ger storleken av en vinkel i en regelbunden n-hörning (n 3). 4. talföljder 95

5 Historik Fibonaccis talföljd Den italienske matematikern Leonardo Fibonacci eller Leonardo från Pisa (70 50) brukar räknas som medel tidens störste. Under sin uppvät i Nordafrika och under sina resor lärde han sig de indiska (arabiska) siffrorna och såg de stora fördelar de gav för matematiken. År 0 skrev han den berömda boken Liber Abaci (boken om räkning), som gjorde honom berömd och bidrog till att de krångliga romerska siffrorna allt mer övergavs. a b I spiralmönster hos t e ananas, kottar och solrosens frön hittar vi tal ur Fibonaccis talföljd. Fibonacci har gett namn åt talföljden,,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55, 89, 44, där varje tal är summan av de två föregående. Fibonacci fann talföljden när han studerade kaniners fortplantning. Talen anger hur antalet kaninpar ökar varje månad, om vi räknar med att ett kaninpar ger upphov till ett nytt kaninpar varje månad (förutom den första månaden) samt att inga kaniner dör. Talföljden har genom åren fascinerat många människor, då den dyker upp på de mest oväntade ställen. a + b Gyllene snittet = a + b a = a b = + 5 Kvoten mellan ett tal och föregående i Fibonaccis talföljd närmar sig Gyllene snittet Pascals kända triangel gömmer också Fibonaccis talföljd. I teten ovan ser vi de första elementen i Fibonaccis talföljd. a) Beräkna de 3:e och 4:e elementen. b) Ange en rekursiv formel för talföljden. Visa hur Fibonacci fann sin talföljd. Starta med ett kaninpar och notera sedan för några månader hur många kaninpar du har, om de ökar enligt teten ovan. Rita figur. 3 Beräkna kvoterna 3/8, /3, 34/ och 55/34 och jämför med Gyllene snittet. 4 Studera Pascals triangel. a) Om vi räknar från toppen så har triangeln fem horisontella rader. Hur bör den 6:e raden se ut? b) Ritar vi om triangeln kan vi få: Studera de nya diagonalerna, vad ser du? talföljder

6 4. Geometrisk summa Hur beräknas en geometrisk summa? Vi har talföljden 5, 0, 0, 40, 80, 60, 30, Vi kommer från ett tal till nästa genom att multiplicera med, d v s kvoten mellan ett tal och det föregående är hela tiden. Geometrisk talföljd Vi kallar en sådan talföljd geometrisk och säger att den har kvoten k =. Första talet a = 5 Andra talet a = a k = 5 = 0 Tredje talet a 3 = a k = 5 = 5 4 = Fjärde talet a 4 = a k = 5 = 5 8= Femte talet a 5 = a k = 5 = 56 = 80 n:te talet a n = a k n Summan av de fem första talen skrivs s 5. s 5 = = 55 Kan vi finna en formel för summan av talen i en geometrisk talföljd? Vi börjar med en formel för s 5 och kan sedan generalisera resultatet. 3 4 s = a+ ak + ak + ak + ak Båda leden multipliceras med kvoten k. 5 ks = ak + ak + ak + ak + ak Vi tar den undre summan minus den övre summan: 5 ks s = ak a s ( k ) = ak ( ) s ak ( ) = k 5 5 ( ) För talföljden ovan får vi s 5 = = 55 På samma sätt visas allmänt: Geometrisk summa En geometrisk summa s n n a( k ) = k, k 4. geometrisk summa 97

7 40 I en geometrisk talföljd är första talet 0 och kvoten 3. Beräkna summan av de 8 första talen. Första talet a = 0, kvoten k = 3 och antal tal n = 8 Formeln för den geometriska summa s 0( 3 ) = = s 8 8 n n a( k ) = ger k 40 Beräkna den geometriska summan , + 50, , Första talet a = 50, kvoten k =, och antal tal n = 3 (Obs! n = 3. Summan består av tal med kvoten, samt första talet 50. ) 50(, ) = = 6, , s Skriv de fem första talen i den geometriska talföljd där a) första talet är 8 och kvoten är 3 b) a = 80 och k = 0, Beräkna summan av de 0 första talen i den geometriska talföljd där a) a = 4 och k = 3 b) första talet är 000 och kvoten är, Beräkna den geometriska summan a) 0 + 0, ,0 3 b) , , I en geometrisk talföljd med kvoten är summan av de fem första talen 860. Vilket är det första talet a? 407 Är talföljden geometrisk? Beräkna i så fall summan av de första talen. a) 5, 8,, 4, 7, b) 64, 48, 36, 7, c) 3 ; 40 ; 50 ; 6,5 ; d) 4, 5, 7, 0, 4, 408 Bestäm talet med två decimaler ur ekvationen +, +, + +, 9 = I en geometrisk talföljd med 6 tal är kvoten 3 och summan 80. Vilket är det sista talet? 40 Åtta plastkuber har sidlängder som bildar en geometrisk talföljd. De tre första sidorna är 0 cm, 8 cm och 6,4 cm..... a) Vilken sidlängd har de åtta kuberna sammanlagt? Svara med en decimal. b) Vilken volym har de åtta kuberna sammanlagt? Svara med heltal. 4 I en geometrisk talföljd är första talet 00 och det andra talet 50. Hur många tal måste talföljden innehålla för att summan ska överstiga ? 4 Bestäm de se första talen i en geometrisk talföljd där a 3 = 0 och a 6 = geometrisk summa

8 Ekonomiska och naturvetenskapliga tillämpningar 43 Tomas har ett bankkonto med 3,00 % fast ränta. Tomas farfar satte in 5000 kr på kontot för fyra år sedan. Vid nyår de senaste fem åren har Tomas morfar satt in 000 kr på kontot. Vilket belopp har pengarna från a) farfar vuit till på fyra år? b) morfar vuit till direkt efter sista insättningen? a) 5000 kr har på fyra år vuit till 5000,03 4 kr 568 kr Svar: Pengarna från farfar har vuit till 5 68 kr b) Vi ritar en tidslinje och visar vad varje insättning har vuit till vid det femte årsskiftet. år år år 3 år 4 år ,03 4 (första insättningen) ,03 3 (andra insättningen) ,03 (tredje insättningen) ,03 (fjärde insättningen) (sista insättningen) Beloppet beräknas med formeln för en geometrisk summa. Första talet a = 000, kvoten k =,03 och antalet termer n = 5. s n = n a( k ) k = 5 000( 03, ) 03, 5309 Svar: Pengarna från morfar har vuit till kr 4. geometrisk summa 99

9 44 En patient får var fjärde timme medicin i form av en tablett på 00 mg. När 4 timmar gått finns fortfarande 75 % av den gamla tabletten kvar i blodet. Anta att medicineringen fortsätter på detta sätt. Hur stor mängd av medicinen har patienten i blodet efter a) 3 tabletter b) 0 tabletter? Låt M n vara den mängd i milligram som finns i blodet efter n tabletter. a) M = 00 M = 00 0, Kvar av första tabletten Ny tablett M 3 = 00 0, , = 3,5 Kvar av första och andra tabletten Ny tablett Svar: Efter tre tabletter finns 3 mg i blodet. b) M 0 = 00 0, , , , Mängden beräknas med formeln för en geometrisk summa. Första talet a = 00, kvoten k = 0,75 och antalet termer n = 0 s n n 0 a( k ) 00( 075, ) = = = 377, k 075, Svar: Efter 0 tabletter finns 377 mg i blodet geometrisk summa

10 45 Till vilket belopp väer kr med ränta på ränta om a) räntesatsen är 3 % och tiden 0 år b) räntesatsen är 5 % och tiden 7 år c) räntesatsen är 0,5 % och tiden är 6 år? 46 På ett bankkonto sätter Hedvig in 500 kr vid slutet av tio på varandra följande år. Ränta på ränta beräknas efter 4 %. Hur stor är behållningen omedelbart efter den sista insättningen? Ta hjälp av figuren nedan År 500,04 500,04 500, , , ,04 9 Vi räknar med en genomsnittlig årlig tillvät på 5 % och att hon inte behöver betala några skatter eller andra avgifter för fonden. 40 Vilket alternativ är bäst om årsräntan antas vara 6 %? A Att få kr i början av 003 B Att få kr i början av 00 C Att få 000 kr i början av vart och ett av åren 003, 004,, 009, 00 4 Veterinären Elsa behandlar en sjuk häst. Första dagen får hästen 0 g av en viss medicin, varefter dosen halveras varje dag. Hur mycket medicin bör Elsa skriva ut recept på, om hela behandlingen omfattar en vecka? 47 Niklas har fått en öroninfektion. Var sjätte timme får han antibiotika i form av en tablett på 00 mg. När han efter se timmar får en ny tablett på 00 mg, återstår av den gamla dosen 40 % i blodet. Vilken mängd antibiotika har han i blodet efter a) 3 tabletter b) 0 tabletter? 48 Ett nybyggt hus sjunker,8 cm det första året. Man uppskattar att huset därefter fortsätter att sjunka och att det för varje år sjunker med en tredjedel av vad det sjönk närmast föregående år. a) Hur mycket sjunker huset det andra året? b) Hur mycket räknar man med att huset sjunker de tio första åren? 49 Nilla sparar i en aktiefond. Hon satte in 000 kr i början av 00 och har sedan dess satt in 000 kr i början av varje år. Hur mycket är hennes aktiefond värd direkt efter insättningen år 00? 4 Sagan berättar om schackspelets uppfinnare, att han av Persiens konung som belöning lovades få vad han önskade. Han bad då att få sädeskorn för första rutan på ett schackbräde, för den andra, 4 för den tredje osv. För var och en av schackbrädets 64 rutor ville han ha dubbelt så mycket som för den närmast föregående. Hur många sädeskorn begärde schackspelets uppfinnare i belöning? Är det möjligt att skaffa denna belöning? Vi antar att 000 sädeskorn väger ungefär 30 g och att världsproduktionen av säd är ungefär 0 kg/år. 4. geometrisk summa 0

11 43 Louise ska få en gåva på 6000 kr när hon fyller 8 år. Hur stor summa bör hon få, om hon istället får gåvan idag, på sin 4-årsdag? Vi räknar med 4 % årlig ränta på ränta. Nuvärde Vi ska räkna ut nuvärdet, dvs. värdet idag av en framtida betalning. Hur mycket är pengarna värda idag, om de ska väa till kr på fyra år? Vi kallar nuvärdet för och ställer upp ekvationen,04 4 = = , Svar: Louise bör få 5 9 kr på sin 4-årsdag 44 Mona tog i början av år 008 ett lån på kr. Hon ska Annuitet betala lånet med 0 lika stora belopp (annuiteter) i slutet av varje år med början 008. Ränta på ränta beräknas efter 6 %. Hur stor är varje annuitet? Vi ritar en tidslinje och anger vad lånet samt varje annuitet vuit till vid slutet av det 0:e året År ,06,06...,06 9 Värdet av de tio avbetalningarna med ränta ska tillsammans vara lika stort som värdet av med tio års ränta. +,06 +,06 + +,06 9 = ,06 0 Vänstra ledet är en geometrisk summa. Summaformeln ger (a = och k =,06) (,06 0 ) = ,06,06 0 = 3 586,80 Svar: Annuiteten är kr (3 586,80 kr). 9 års ränta på denna avbetalning geometrisk summa

12 45 I en affärsuppgörelse ingår att Anton ska betala kr i dag och kr om 5 år. Vad borde Anton betala om uppgörelsen varit att hela summa ska betalas a) i dag b) om 5 år? Vi räknar med 3,5 % årlig ränta på ränta. 46 Mats lovade Carina att vid slutet av år 04 betala henne kr. Men så småningom ändrade han sig och ville göra sig skuldfri fem år i förtid, d v s 009. Hur mycket blir nuvärdet av kr om vi räknar med en årsränta på 5 %, d v s hur mycket ska Mats betala till Carina för att pengarna efter fem år ska vara värda kr? 49 En patient tar varje morgon medicin i form av en tablett på 0 mg. För varje dygn utsöndrar kroppen 50 % av den ursprungliga mängden. Hur stor mängd av medicinen har patienten i blodet efter n tabletter? 430 En trissvinnare kan få kr i månaden varje månad i 5 år. Vinnaren blir lite nyfiken på vad dessa pengar är värda idag. a) Vilken månadsränta motsvarar en årsränta på 4 %? b) Vad är nuvärdet för hela trissvinsten, om vi räknar med en årsränta på 4 %? 47 I ett kärnkraftverk frigörs energi när atomkärnor delas. En neutron som träffar kärnan av en uranatom delar den i två mindre, samtidigt som tre nya neutroner frigörs som kan dela andra urankärnor. :a generationen :a generationen Hur många kärnor kan maimalt delas av de hundra första generationerna neutroner? 48 Vid slutet av 005 tog Andrea ett lån på kr. Lånet ska betalas tillbaka genom lika stora belopp (annuiteter) vid slutet av åren 008 till och med 0. Hur stor ska annuiteten vara, om lånet ska vara helt betalt när annuiteten vid slutet av 0 är betald? Räkna med 7 % årsränta. 43 År 000 uppskattades den totala mängd olja som fanns kvar i världen till cirka 000 miljarder fat ( fat = 59 liter). Världsförbrukningen låg då på cirka 85 miljoner fat per dag. När kan oljan antas ta slut, om förbrukningen sedan dess a) ökar med 4 % årligen b) minskar med 4 % årligen? 4. geometrisk summa 03

13 Aktivitet Laborera Hur högt studsar bollen? Materiel: En boll (tennisboll eller liknande), tumstock eller måttband ( m). a) Låt bollen falla fritt från en viss höjd (fallhöjden cm) som du mäter. Mät den höjd som bollen kommer upp till efter studsen (studshöjden y cm). Variera fallhöjden och visa dina resultat i en tabell. b) Hur många procent av fallhöjden blir studshöjden? c) Formulera en slutsats om studshöjd och fallhöjd. Anta att bollen faller från 0 m. a) Beräkna studshöjden efter den andra studsen. b) Beräkna studshöjden efter den tionde studsen. c) Beräkna hur långt bollen har rört sig sammanlagt då den träffar marken för tionde gången. Rita figur. d) Kan den sammanlagda sträckan som bollen rört sig bli hur stor som helst? Undersök och diskutera! geometrisk summa

14 4.3 Kalkylmodeller Kalkylprogram Eempel Jonna har skadat sitt knä när hon sprang tjejmilen. Mot svullnaden får hon var åttonde timme en tablett på 0 mg. När hon efter 8 timmar tar en ny dos återstår 30 % av den gamla i blodet. Hur beror den mängd medicin hon har i blodet av det antal tabletter hon tagit? Vi visar detta i en tabell. Tabell Tablett nr Kvar av gamla tabletter Efter ny tablett = 0 0,30 0 = = ,30 73 = 8,9 8,9 + 0 = 9,9 4 0,30 9,9 = 87,57 87, = 97,57 Upprepade beräkningar i tabellform görs bäst med ett kalkylprogram. Vi kallar då tabellen för ett kalkylblad. I ett kalkylblad är raderna numrerade,, 3, 4, Kolumnerna har bokstavsbeteckningar A, B, C, D, Kalkylblad Likhetstecknet i = B3 + 0 anger att det är en formel. I ruta A har vi skrivit in teten Tablett nr I ruta B har vi skrivit in talet 0 I ruta C3 har vi skrivit in formeln = B3 + 0 Att A3 = A + betyder att värdet i A3 blir + = Att B3 = 0,3 * C betyder att värdet i B3 blir 0,3 0 = 63 Att C3 = B3 + 0 betyder att värdet i C3 blir = 73 osv 4.3 kalkylmodeller 05

15 430 Tabellen visar några enkla ränteberäkningar. A B C D Kapital / (kr) Räntesats (%) Ränta (kr) Kapital 3/ (kr) a) Beräkna värdena i rutorna C3 och D3. b) Vilka formler ska stå i rutorna C3 och D3? a) I C3 får vi värdet: 0, = /00 = 53 I D3 får vi värdet: = 5 53 b) C3 = B3 * A3/00 (om vi ändrar räntesatsen i B3 så ändras också värdet i C3) D3 = A3 + C3 Vi börjar nu med några enkla övnin gar på kalkylblad utan dator. 430 Petras pappa har fått diagnosen högt blodtryck. Han ska varje morgon ta en tablett Plendil på 0 mg. För varje dygn utsöndrar kroppen 50 % av den verksamma substansen. Tabellen visar mängden verksam substans i milligram efter de första tabletterna. A B C Tablett nr Kvar av gamla tabletter Efter ny tablett 4 3 7,5 7,5 5 4 a) Beräkna värdena i de tomma rutorna. b) Vilka formler ger dessa värden? 4303 Den procentuella årliga ändringen av en aktieposts värde redovisas i tabellen. År A B C D E Ändring % Värde / Ändring kr Värde 3/ a) Beräkna värdena i de tomma rutorna. b) Skriv formler för de beräkningar som görs i tabellen En person betalar av (amorterar) på ett lån i slutet av varje år som tabellen visar. År A B C D E F Skuld / Räntesats Amortering , Ränta Skuld 3/ a) Hur stor är skulden i slutet av år 00 (efter amorteringen detta år)? b) Skriv formler för de beräkningar som görs i tabellen Mia släpper en boll från höjden,4 m. För varje studs når bollen 75 % av den tidigare höjden. I en tabell för Mia in den sträcka i meter bollen rört sig omedelbart efter en studs. A B C D Studs nr Fallhöjd Studshöjd Sträcka,4,8,4 3,8,35 6,0 4 3 a) Beräkna värdena i rad 4 (för studs nr 3). b) Vilka formler ger dessa värden? kalkylmodeller

16 4306 Tabellen visar behållningen i kronor på ett bankkonto där uttag görs i slutet av varje år. (Ingen hänsyn tas till att kapitalinkomster beskattas.) Nu låter vi ett kalkylprogram göra beräkningarna i våra tabeller. a) Vilka formler ska stå i rutorna D och F? b) Vilken formel ska stå i ruta B3? c) Skriv in tabellen med formler i ett kalkylprogram. Kopiera alla formler nedåt t o m rad 7. d) Vilken fördel är det att ha formler i kolumnerna C och E? e) Hur stor är behållningen på kontot 03--3? f) Hur stor hade behållningen blivit om räntesatsen varit 4 %? g) Hur stort årligt uttag (i jämna hundratal kronor) kan man högst göra, om man vill att behållningen inte ska understiga kr? Vi räknar med räntesatsen 4 %. a) D = C * B/00 och F = B + D E b) B3 = F c) När du skriver in formeln i t e D, skriver du bara = C * B/00. Markera kolumnerna fr o m den ruta (cell) som ska kopieras och nedåt t o m rad 7. d) Du kan då lätt ändra räntesats och uttag. Ändrar du värdet i C, så ändras allt i tabellen som beror av C. e) I ruta F 7 avläses 6 90 kr (6 89,54) f) kr (73 468,0) g) Variera uttaget i E. Uttaget kr ger behållningen kr. Uttaget 3 00 kr ger behållningen kr. Högsta uttaget är alltså kr. Så här kan utskriften från ett kalkylprogram se ut: År Kapital / Räntesats (%) Ränta Uttag 3/ Kapital 3/ , , , , , , , kalkylmodeller 07

17 4307 Aleandra satsar pengar i en aktiefond. Hon tror att den ska öka i värde med 0 % per år. I början av varje år sätter hon in ett visst belopp i fonden. Hennes kalkylmodell är a) Vilka formler ska stå i E och F? b) Vilka formler ska stå i A3, B3, C3 och D3? c) Skriv in kalkylmodellen och fyll i alla formler nedåt t o m rad (år 06). d) Vilket värde har fonden 06--3? e) Vilket blir fondens värde om tillväten är 5 % per år? f) Låt tillväten vara 5 % och variera insättningen så att värdet blir kr En läkare vill ha en kalkylmodell som visar hur mängden verksam substans i kroppen ökar när patienten börjar med en ny medicin. Kalkylmodellen ska visa mängden kvarvarande substans då en ny tablett har tagits. Fullborda kalkylmodellen och använd den på följande fall: En patient tar varje dygn en tablett på 50 mg. Efter ett dygn återstår 40 % av den ursprungliga mängden. Vilken mängd av den verksamma substansen finns i kroppen efter den 0:e tabletten? 4309 Den svenske matematikern Helge von Koch studerade i början av 900- talet en kurva som efter honom brukar kallas Kochs snöflingekurva. Den konstrueras så här: Grundfiguren är en liksidig triangel med sidan 3 längdenheter. Varje sida delas sedan i tre lika delar. Den mellersta delen tas bort och ersätts med en liksidig triangel, som figuren visar. Nästa figur bildas på samma sätt. a) Gör ett kalkylblad som visar omkrets och area för figur nummer n. b) Ange det lägsta värde på n för vilket omkretsen överstiger 000 längdenheter. c) Vad händer med arean då n ökar obegränsat? kalkylmodeller

18 Upprepade beräkningar med grafritande räknare Eempel En ny bil kostar kr. Värdeminskningen är 5 % per år. Efter hur många år är bilen för första gången värd mindre än kr? Beräkningsrutin Så här kan du göra med din räknare: EXE på en del räknare ENTER Startvärdet läggs in. I räknarfönstret kan det se ut så här: Det lagras i variabeln Ans Ans 0,85 ENTER ENTER ENTER osv Ger värdet efter år. Du får Ans genom att bara trycka på. Nu är det nya Ans-värdet = det gamla 0,85. Ger värdet efter år, d v s det nya Ans-värdet 0,85. Ger värdet efter 3 år. Efter 4 år är värdet mindre än kr Ans * Värdet efter år Värdet efter 4 år 430 En villaägare har lånat kr till en fast årlig ränta av 6 %. Hur stort är lånet efter 5 år, om det amorteras (betalas av) med kr vid varje års slut? Beräkningsrutin: ENTER Startvärdet har lagrats i Ans. Ans, ENTER Ger lånet efter år sedan avbetalningen gjorts. ENTER Ger lånet efter år sedan avbetalningen gjorts. osv Svar: Efter 5 år är lånet kr. Ans * kalkylmodeller 09

19 43 Ett radioaktivt ämne väger 95 pg. Massan av ämnet minskar för varje timme med %. a) Hur mycket återstår av ämnet efter 4 timmar? b) När återstår mindre än 0 pg? 43 Klockan finns det i en näringslösning 85 bakterier/ml. Antalet ökar med 35 % under varje 30-minutersperiod. När finns det fler än 000 bakterier/ml i lösningen? 433 En bank erbjuder sina kunder att köpa obligationer värda kr/st. De ska väa med 8 % ränta samt en årlig bonus på 400 kr som utdelas i slutet av varje år och som också ger ränta. a) Hur ser beräkningsrutinen ut i detta fall? b) Vad är obligationen värd efter 5 år? c) När är obligationen värd kr? 434 Den svenska björnstammens storlek är svår att uppskatta. År 008 uppskattades den till 800 djur. Hur stor är den 03 (fem år senare), om den naturliga tillväten är 4,4 % per år och man skjuter 00 björnar per år? 435 När en organism dör, avtar halten C-4 långsamt. Efter en tusenårsperiod återstår 88,6 % av den ursprungliga mängden. Hur många procent återstår efter år? 436 Camilla får låna kr av bilfirman, när hon köper en begagnad bil. Hon får betala,5 % i årsränta på lånet. Vid slutet av varje år ska hon betala bilfirman 000 kr. a) Hur mycket är kvar av lånet efter 3 år? b) När är lånet slutbetalt? 437 En stipendiefond på kr förvaltas av en bank, som under en tioårsperiod garanterar en årlig tillvät på 8 %. Under de fem första åren delas vid årets slut ut ett stipendium på kr, och under de följande fem åren delar man på samma sätt ut kr årligen. Hur stor är fonden efter 0 år? 438 Skriv en beräkningsrutin som ger talföljden a) 0,4; 0,04; 0,004; b) 00; 40; 6; 6,4; 439 Om mönstret fortsätter oändligt långt får man en figur som brukar kallas Sierpińskis triangel, efter den polske matematikern Wacław Sierpiński (88 969). a) Hur många färgade trianglar är det i figur nr 0? b) Den första figuren är färgad till 00 %. Hur stor andel av figur nr 0 är färgad? kalkylmodeller

20 Aktivitet Sant eller falskt? Diskutera Diskutera i par eller grupp. Sant eller falskt? Motivera svaret! I en talföljd är alltid det andra talet större än det första talet. Talföljden 5, 8,, 7, 3 ges av a n = 3n +. 3, 4, 6, 8, 0, är eempel på en geometrisk talföljd. 4 Alla tal i talföljden a n = n + n är jämna heltal. 6 I en geometrisk talföljd är kvoten mellan ett tal och det föregående alltid samma. 7 Summan 5 + 5, + 5, , 0 har elva termer. 8 Den sjunde termen i den geometriska summan ovan är 5, , , ,04 n < för alla värden på n , , ,96 n < 500 för alla värden på n. 5 Talet 54 ingår i talföljden a n = 5n 3 4 talföljder och summor

21 Problem för alla 4 Dela talet 47 i tre delar, så att den andra delen blir dubbelt så stor som den första och den tredje delen dubbelt så stor som den andra. I ett datorspel ska du försöka gissa ett bestämt tresiffrigt tal. För varje gissning får du en ledtråd. Vad svarar du efter denna dialog med datorn? 3 Ingen siffra rätt! 456 En siffra rätt, men i fel läge! 789 En siffra rätt, men i fel läge! 075 Två siffror rätt, varav en i rätt läge! 087 En siffra rätt, men i fel läge! 3 Ett tåg med hastigheten 30 m/s passerar en 300 m lång tunnel på 30 s. Hur lång tid tar det för tåget att passera en stolpe? 4 Bestäm det minsta antal termer som ska adderas i uttrycket för att summan ska överstiga Efter två löneförhöjningar är den nya lönen 5/8 av den ursprungliga. Hur stor var den första höjningen (i procent), om den andra höjningen var dubbelt så stor som den första (i procent)? 6 Förenkla Funktionen f ( ) = ( a) 3 + (a a ) antar ett minimivärde för =. Bestäm a. 8 Figuren OAB är en cirkelkvadrant. Med OA och OB som diametrar är två cirkelbågar ritade. Bestäm förhållandet mellan de båda skuggade områdena a och b. B a b O A 9 Gränsvärdet lim ( ) h / 3 8+ h 0 h med f (a). är lika a) Vilken är funktionen f och vilket är a-värdet? b) Beräkna f (a) eakt. 0 Bestäm summan av de tio första talen i en geometrisk talföljd där a = 6 och a 5 = 6. 4 talföljder och summor

22 Hemuppgifter 4 4. Talföljder Ange de tre första talen i den talföljd där a) a n = 7 n b) a n + = a n + n och a = 0 Finn en formel för det n:te talet i tal följden a) 5, 8,, 4, b), 5, 0, 7, 6, 3 Ange en formel för antalet punkter i figur nr n Geometrisk summa 4 Beräkna summan av 8 tal i den geometriska talföljd, där första talet är 4 och kvoten är,5. 5 Ange den geometriska summa som kan beräknas med 0 3 6, ( ) 3 6 Beräkna den geometriska summan och avrunda resultatet till heltal. a) 5 + 5,08 + 5, ,08 0 b) , , ,8 9 7 Bestäm talet med två decimaler ur ekva tionen + 0,6 + 0, ,6 = Morfar Sven vill att hans båda barnbarn ska ha kr på var sitt konto när de fyller 0 år. Hur mycket bör han då sätta in på a) Jennys konto när hon fyller 0 år b) Martins konto när han fyller 4 år? Räntesatsen antas hela tiden vara 4,5 %. 9 Hur mycket bör Filip sätta in på ett bank - konto vid slutet av varje år, om han efter den 30:e insättningen vill ha kr på sitt konto? Räntesatsen antas vara 5,5 %. 0 En patient får var sjätte timme medicin i form av en tablett på 00 mg. När 6 timmar har gått återstår det 0 % av den tidigare medicinen i kroppen. Hur stor mängd medicin har patienten i kroppen efter a) 5 tabletter b) 50 tabletter? 4.3 Kalkylmodeller Kalkylmodellen visar kapitalets tillvät på ett bankkonto där insättningar görs i början av varje år. Gör de beräkningar som formlerna beskriver. Hur stor är behållningen på kontot i början av år 0? A B C D E År Räntesats Insättning Kapital / Ränta = C = B*D/ = C+000 = D+E+C3 = B3*D3/ = C3+000 = D3+E3+C4 En villaägare tog i början av 00 ett lån på kr till en fast årlig ränta på 7 %. Lånet amorteras (betalas av) med kr vid slutet av varje år. Hur stor var villa ägarens skuld vid slutet av 006, omedelbart efter den sjätte amorteringen? Gör en beräkningsrutin för grafritande räknare och bestäm detta. 4 talföljder och summor 3

23 Sammanfattning 4 Talföljd En talföljd är en ändlig eller oändlig följd av tal, uppställda i en bestämd ordning och enligt en bestämd regel. En talföljd kan anges på olika sätt: Genom en formel för det n:te talet. Formeln a n = n(n + ) ger talföljden, 6,, 0, Genom uppräkning. Om de fyra första talen är, 6,, 0, så är det rimligt att det 5:e talet är 30. (Vi ökar med 4, 6, 8, 0, osv.) Geometrisk talföljd Det n:te talet: a n = a k n, där k = kvoten av ett tal och närmast föregående tal. I den geometriska talföljden 5, 0, 0, 40, är kvoten k =. Geometrisk summa Summan s n av de n första talen i en geometrisk talföljd beräknas med formeln s n = a k n n ( ) a( k ) = k k Eempel I den geometriska summan , (0,5) + 64 (0,5) (0,5) 7 är a = 64, k = 0,5 och n = 8 s n = (, ) = 7,5 0, 5 Modell med geometrisk talföljd En förälder sätter vid slutet av 8 på varandra följande år in 000 kr åt sitt barn på ett konto. Ränta på ränta beräknas efter 5 %. 7 År , , ,05 7 Omedelbart efter den 8:e insättningen är behållningen i kronor den geometriska summan , , ,05 7 a = 000, k =,05 och n = 8 000( 05, ) s 8 = , 8 Nuvärde En skuld på kr ska betalas tillbaka vid slutet av år 05. Om den betalas redan vid slutet av år 00, d v s 5 år i förväg, och ränta på ränta beräknas efter %, ska man betala N kr där N, 5 = , d v s N = /, 5. N kallas skuldens nuvärde år talföljder och summor

Förändringsfaktor. Bilder: Akvareller av Ramon Cavaller; Geometriska konstruktioner och diagram av Nils-Göran Mattsson

Förändringsfaktor. Bilder: Akvareller av Ramon Cavaller; Geometriska konstruktioner och diagram av Nils-Göran Mattsson Förändringsfaktor 1. Procentens ABC 2 Procentenheter, ppm och promille.13 Prisjämförelser och index finns i statistikavsnittet.. 2. Geometrisk summa med tillämpningar 15 Årliga insättningar..17 Annuiteter

Läs mer

C Höstterminen 2009. Matematik. Elevhäfte KURSPROV. Elevens namn

C Höstterminen 2009. Matematik. Elevhäfte KURSPROV. Elevens namn KURSPROV Matematik C Höstterminen 2009 Prov som ska återanvändas omfattas av sekretess enligt 17 kap. 4 offentlighets- och sekretesslagen. Avsikten är att detta prov ska kunna återanvändas t o m 2015-12-31.

Läs mer

Talmönster och algebra. TA

Talmönster och algebra. TA Talmönster och algebra. TA Diagnoserna i området avser att kartlägga om eleverna kan upptäcka talmönster samt på olika sätt bearbeta algebraiska uttryck och ekvationer. Förståelse av koordinatsystem och

Läs mer

Texas Instruments Sverige 1997 Printed in Sweden by Gumm essons Tryckerier AB

Texas Instruments Sverige 1997 Printed in Sweden by Gumm essons Tryckerier AB Förord Detta häfte innehåller ett a ntal mat ematikp roblem inom olika områden av den mat ematik som behandlas inom de olika ku rsern a på g ymnasieskolan. Vi har, i de flesta fall, inte delat upp i nnehållet

Läs mer

TIMSS population 2 Matematik (Algebra)

TIMSS population 2 Matematik (Algebra) TIMSS population 2 Matematik (Algebra) I1. Benny ville lösa ett problem med tre på varandra följande heltal, som tillsammans ger summan 81. Han skrev ner ekvationen (n - 1) + n + (n + 1) = 81. Vad står

Läs mer

Provet består av Del I, Del II, Del III samt en muntlig del och ger totalt 75 poäng varav 28 E-, 23 C- och 24 A-poäng.

Provet består av Del I, Del II, Del III samt en muntlig del och ger totalt 75 poäng varav 28 E-, 23 C- och 24 A-poäng. Del I Del II Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-10. Endast svar krävs. Uppgift 11-15. Fullständiga lösningar krävs. 10 minuter för del I och del II tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser Provet består

Läs mer

d) 4 25 e) 900 + 800 f) 103 95 a) 17 500 b) 679 c) 112 752 149 kr. Hur mycket får Magda tillbaka när hon betalar? Ledtråd: Svaret är inte 31 kr.

d) 4 25 e) 900 + 800 f) 103 95 a) 17 500 b) 679 c) 112 752 149 kr. Hur mycket får Magda tillbaka när hon betalar? Ledtråd: Svaret är inte 31 kr. Till vart och ett av bokens sex kapitel hör fyra läxor. Varje läxa innehåller 12 uppgifter samt ett veckans problem. I facit kan du kontrollera om du löst uppgifterna rätt. Läxa 1 Efter avsnitt 1.1 1 a)

Läs mer

An enrichment and extension programme for primary-aged children

An enrichment and extension programme for primary-aged children An enrichment and extension programme for primary-aged children Created by Tim Bell, Ian H. Witten and Mike Fellows Adapted for classroom use by Robyn Adams and Jane McKenzie Illustrated by Matt Powell

Läs mer

Anvisningar Del I. Namn: Födelsedatum: Komvux/gymnasieprogram: Provtid

Anvisningar Del I. Namn: Födelsedatum: Komvux/gymnasieprogram: Provtid Anvisningar Del I Provtid Hjälpmedel Miniräknarfri del Uppgift 14 Kravgränser 90 minuter för del I. Vi rekommenderar att du använder högst 45 minuter för arbetet med den miniräknarfria delen. Du får inte

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS A HÖSTEN 2000. Del I

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS A HÖSTEN 2000. Del I Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap 3 Sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen till och med utgången av 2010. NATIONELLT KURSPROV

Läs mer

DIGITALA VERKTYG ÄR INTE TILLÅTNA. Namn:... Klass/Grupp:...

DIGITALA VERKTYG ÄR INTE TILLÅTNA. Namn:... Klass/Grupp:... DIGITALA VERKTYG ÄR INTE TILLÅTNA Namn:... Klass/Grupp:... Del I 1. Bestäm värdet av 25 3x om x = 2 Svar: (1/0/0) 2. Vilket tal ska stå i rutan för att likheten ska stämma? 2 3 + + 1 =1 Svar: (1/0/0) 9

Läs mer

1Målet med detta kapitel är att du ska

1Målet med detta kapitel är att du ska 1Målet med detta kapitel är att du ska förstå sambandet mellan inköpspris och försäljningspris i ett handelsföretag kunna beräkna lämplig påläggsprocent förstå skillnaden mellan pålägg och marginal känna

Läs mer

D a g Ta ut din pension på bästa sätt! Annika Creutzer t l Annika Creutzer Viktiga adresser Min Pension: S P Konsumenternas Försäkringsbyrå

D a g Ta ut din pension på bästa sätt! Annika Creutzer t l Annika Creutzer Viktiga adresser Min Pension: S P Konsumenternas Försäkringsbyrå Annika Creutzer Dags att lägga pensionspusslet så tar du som kvinna ut pension på bästa sätt Av Annika Creutzer Förord Annika Creutzer 2015 Ineko AB, Stockholm 2015 ISBN 978-91-637-7764-6 Pensionerna har

Läs mer

Räknefärdighet och finansiell förmåga 1 Preliminära resultat från Finansinspektionens konsumentundersökning 2010

Räknefärdighet och finansiell förmåga 1 Preliminära resultat från Finansinspektionens konsumentundersökning 2010 Räknefärdighet och finansiell förmåga 1 Preliminära resultat från Finansinspektionens konsumentundersökning 2010 Johan Almenberg 2 och Olof Widmark 3 24 januari 2011 Sammanfattning. Vi redogör för några

Läs mer

2005:5. Den samhällsekonomiska kalkylen. en introduktion för den nyfikne. SIKA Rapport

2005:5. Den samhällsekonomiska kalkylen. en introduktion för den nyfikne. SIKA Rapport SIKA Rapport 2005:5 Den samhällsekonomiska kalkylen en introduktion för den nyfikne Den samhällsekonomiska kalkylen En introduktion för den nyfikne Innehåll 5 Inledning 6 Introduktion till samhällsekonomiska

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS A HÖSTEN 2001. Del II

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS A HÖSTEN 2001. Del II Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap 3 Sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen till och med utgången av 2011. Anvisningar Provtid

Läs mer

Välj välfärden vi har råd!

Välj välfärden vi har råd! Välj välfärden vi har råd! Välj välfärden - vi har råd! Rapport av Torbjörn Dalin och Thomas Berglund Kommunal 2014 Innehållsförteckning Inledning... 4 Den framtida befolkningsutvecklingen... 6 Tidigare

Läs mer

Möjlighet att leva som andra

Möjlighet att leva som andra Möjlighet att leva som andra Lättläst sammanfattning Slutbetänkande av LSS-kommittén Stockholm 2008 SOU 2008:77 Det här är en lättläst sammanfattning av en utredning om LSS och personlig assistans som

Läs mer

MATTE MED FINGERKÄNSLA

MATTE MED FINGERKÄNSLA MATTE MED FINGERKÄNSLA Konkret matematik i nybörjarundervingen Författare och bilder: Janne Junttila och Kerttu Ristola, Oulun Matikkamaa (Mattelandet i Uleåborg) Översättning till svenska: Christel Forsblom

Läs mer

MAKTEN PENSION TIO FÄLLOR DU SOM KVINNA SKA UNDVIKA ÖVER DIN. Annika Creutzer. Annika Creutzer. Annika Creutzer är en av våra mest. Affärer.

MAKTEN PENSION TIO FÄLLOR DU SOM KVINNA SKA UNDVIKA ÖVER DIN. Annika Creutzer. Annika Creutzer. Annika Creutzer är en av våra mest. Affärer. TA MAKTEN ÖVER DIN PENSION TIO FÄLLOR DU SOM KVINNA SKA UNDVIKA Annika Creutzer Annika Creutzer är en av våra mest välkända privatekonomiska experter. Hon är nationalekonom, journalist och krönikör och

Läs mer

Vad är dyskalkyli? En bok om matematiksvårigheter

Vad är dyskalkyli? En bok om matematiksvårigheter Vad är dyskalkyli? En bok om Matematiksvårigheter -Orsaker, Diagnos och Hjälpinsatser - Reviderad och utökad version Björn Adler NU-förlaget Björn Adler Vad är dyskalkyli? En bok om matematiksvårigheter

Läs mer

18 Eldorado 4 A Lärarbok Undervisning att skapa förutsättningar för elevers lärande

18 Eldorado 4 A Lärarbok Undervisning att skapa förutsättningar för elevers lärande Undervisning att skapa förutsättningar för elevers lärande Eleverna behöver få möta aktiviteter där de får möjlighet att konkret uppleva ett nytt begrepp eller en ny metod, reflektera gemensamt och med

Läs mer

Det som inte mäts finns inte

Det som inte mäts finns inte Det som inte mäts finns inte En studie av kommunala svenska grundskolors stödinsats till elever som inte klarar eller inte förväntas klara minst godkänt eller nå kunskapskraven i ett eller flera ämnen

Läs mer

Räkna med variation Studiematerial i sannolikhetslära och statistisk inferens mars 2015

Räkna med variation Studiematerial i sannolikhetslära och statistisk inferens mars 2015 Räkna med variation Studiematerial i sannolikhetslära och statistisk inferens mars 2015 Innehåll 1. Beskrivning av data 2. Grundläggande sannolikhetsberäkningar 3. Fördelningar 3.1 Diskreta fördelningar

Läs mer

PÅ VÄG MOT ÅTERHÄMTNING

PÅ VÄG MOT ÅTERHÄMTNING PÅ VÄG MOT ÅTERHÄMTNING Ett studiematerial om att hantera svåra psykiska besvär Tommy Engman Studiematerialet är framtaget av Återhämtningsprojektet, som är ett samarbete mellan Riksförbundet för Social

Läs mer

Koll på pengarna. Råd och tips om din ekonomi FÖLJ FAMILJEN JOHANSSON HJÄLP MED DIN BUDGET

Koll på pengarna. Råd och tips om din ekonomi FÖLJ FAMILJEN JOHANSSON HJÄLP MED DIN BUDGET 2015 Koll på pengarna FÖLJ FAMILJEN JOHANSSON HJÄLP MED DIN BUDGET Råd och tips om din ekonomi Din ekonomi Du vill att pengarna ska räcka hela månaden, varje månad. Du har något du vill spara till men

Läs mer

Unga vuxnas boende i Sverige 2011 Hur bor unga vuxna? Hur vill de bo? Undersökning från Hyresgästföreningen GÖTEBORG 1

Unga vuxnas boende i Sverige 2011 Hur bor unga vuxna? Hur vill de bo? Undersökning från Hyresgästföreningen GÖTEBORG 1 Unga vuxnas boende i Sverige 211 Hur bor unga vuxna? Hur vill de bo? Undersökning från Hyresgästföreningen GÖTEBORG 1 Innehåll SAMMANFATTNING 3 Undersökningsmetod 3 Hur bor unga vuxna som flyttat hemifrån?

Läs mer

Det här är Kungsbacka kommuns. styrmodell

Det här är Kungsbacka kommuns. styrmodell Det här är Kungsbacka kommuns styrmodell innehåll Kapitel 1 Visionen pekar ut riktningen 4 Så här styrs Kungsbacka 6 Kapitel 2 Politikerna i KF styr på olika sätt 8 Kapitel 3 Så styr politikerna i nämnderna

Läs mer

EN TOLKNING AV MÅLEN MED DEN SVENSKA GYMNASIEMATEMATIKEN OCH TOLKNINGENS KONSEKVENSER FÖR UPPGIFTSKONSTRUKTION

EN TOLKNING AV MÅLEN MED DEN SVENSKA GYMNASIEMATEMATIKEN OCH TOLKNINGENS KONSEKVENSER FÖR UPPGIFTSKONSTRUKTION EN TOLKNING AV MÅLEN MED DEN SVENSKA GYMNASIEMATEMATIKEN OCH TOLKNINGENS KONSEKVENSER FÖR UPPGIFTSKONSTRUKTION Torulf Palm Ewa Bergqvist Ingela Eriksson Timo Hellström Carl-Magnus Häggström Pm nr 199,

Läs mer

ATT UNDERVISA MULTIPLIKATION OCH DIVISION MED 10, 100 OCH 1000

ATT UNDERVISA MULTIPLIKATION OCH DIVISION MED 10, 100 OCH 1000 EN UTVECKLINGSARTIKEL PUBLICERAD FÖR PEDAGOG STOCKHOLM ATT UNDERVISA MULTIPLIKATION OCH DIVISION MED 10, 100 OCH LEARNING STUDY I PRAKTIKEN Författare: Tina Edner E-post: tina.edner@stockholm.se Skola:

Läs mer