VIII. Fermi-Dirac-statistik

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "VIII. Fermi-Dirac-statistik"

Transkript

1 VIII. Fermi-Dirac-statistik Viktiga målsättningar med detta kapitel Kunna härleda Feri-Dirax-distributionen och känna till dess fysikaliska innebörd Känna till begreppet degenererat Fermisystem, termodynamiskt kall, och förstå deras fysikaliska innebörd Känna till begreppen Fermi-energi, -temperatur, och -hastighet Veta att många praktiskt viktiga Fermisystem är i praktiken helt degenererade. Förstå begreppet elektrongas i metaller Förstå hur Fermigasers paramagnetism fungerar. ε k n k ε n ε n ε n Alltså fås vidare n Betrakta det subsystem som bildas av partiklarna i det k:te kvanttillståndet med energin ɛ k. Sannolikheten för att detta delsystem innehåller n k ( =,) partiklar är då P nk = e (Ω k +µn k n k ɛ k )/k B T () Summan över alla sannolikheter är givetvis, så { P nk = = e Ω/kBT + e (µ ɛ k )/k B T () n k där vi använt oss av det faktum att då n k =, kan man lätt skriva ut all termer i summan! { Ω k = k B T ln + e (µ ɛ k )/k B T (3) Den kemiska potentialen kan vara positiv eller negativ (i motsats till Bose-Einstein distributionen där den ju måste vara negativ). Termofysik, Kai Nordlund Termofysik, Kai Nordlund 3 VIII.. Fermi-Dirac fördelningen Vi betraktar ett idealgassystem av partiklar så beskaffade att varje kvanttillstånd högst kan ockuperas av en enda partikel (exklusionprincipen). Sådana partiklar kallas Fermi- partiklar eller fermioner. Alla partiklar vars impulsmomentkvanttal antar halva heltalsvärden är fermioner. Medelockupationen är < n k >= Ω k µ = k BT + e (µ ɛ k )/k B T e(µ ɛ k )/k B T k B T = e (ɛ k µ)/k B T + (4) (5) Viktiga exempel är elektroner, protoner, neutroner. n k = e (ɛ k µ)/k B T + Detta är Fermi-Dirac-fördelningsfunktionen! (6) Gränsfallet < n k ><< motsvarar e (µ ɛ k )/k B T >> och vilket är Boltzmann-fördelningen (som väntat) n k e (µ ɛ k )/k B T (7) Termofysik, Kai Nordlund Termofysik, Kai Nordlund 4

2 Tillståndsekvationen ges som vanligt av Ω = k Ω k = k B T k ] ln + e (µ ɛ k )/k B T (8) Vi beräknar nu Fermi-idealgasers egenskaper VIII... Fermi-idealgaser Ω = k B T k ( ) ln + e (µ ɛ k )/k B T () Vid T = är e (ɛ k µ)/k B T = eller alltså N = n k = k { e =, ɛ k < µ e + =, ɛ k > µ n k = e (ɛ k µ)/k B T + { ɛk < µ ɛ k > µ Detta betyder att distributionen har vid T = resp. högre temperatur följande form: (9) () Vi gör igen (jämför kapitlena på Boltzmann- och Bose-Einstein-gasen) ersättningen Byte av integrationsvariabel: = k d 3 rd 3 p = h 3 = V (π ) 3 d 3 p d 3 r (π ) 3 {{ V (3) dωp dp (4) ɛ = p pdp dɛ = (5) m m p = mɛ (6) Termofysik, Kai Nordlund 5 Termofysik, Kai Nordlund 7 n k T = ger Ω = k B T V 8π 3 34π m m Ω = V k BT m 3/ π 3 dɛɛ / ln ] dɛɛ / ln + e (µ ɛ)/k B T (7) + e (µ ɛ)/k B T ] (8) T > Om partiklarnas impulsmomentkvanttal eller spinn är S bör uttrycket multipliceras med degenerationsfaktorn g = (S + ) ε F ε För elektroner, neutroner och protoner är S = / och alltså g =. Detta betyder att vid T = är alla nivåer under µ är fyllda Fermigaser med T kallas degenererade Fermigaser. P.g.a. den centrala rollen av kemiska potentialen vid T = kallas Vi använder igen fugacitetsparametern z = e µ/k B T : Ω = g V k BT m 3/ π 3 dɛɛ / ln ] + ze ɛ/k B T {{ I (9) µ(t = ) = Fermi-energin () Då ɛ / = d dɛ 3 ɛ3/ () Termofysik, Kai Nordlund 6 Termofysik, Kai Nordlund 8

3 fås med kedjeregeln för integrering I = / 3 ɛ3/ ln ] + ze ɛ/k B T {{ = dɛɛ 3/ 3 + ze ɛ/k B T ze ɛ/k B T ( ) {{ k B T + dɛɛ 3/ 3k B T ze ɛ/k B T + ze ɛ/k B T {{ A Nu ser vi att termen A är summan av en geometrisk serie: n= () () A = ( ) n+ (ze ɛ/k B T ) n = ( ) n+ z n e nɛ/k B T (3) Termofysik, Kai Nordlund 9 n= Med att sammansätta resultaten för I, I och B fås Ω = g V k BT m 3/ 3 π π 3 3k B T 4 (k BT ) 5/ ( ) n+ z n (9) n 5/ n= = gv (k B T )n c ( ) n+ z n n= n 5/, (3) där vi igen definierat (denna definition är identisk med den för Bose-Einstein-systemet): n c ( mk BT π )3/ (3) Om vi vidare definierar serieutvecklingen som en funktion av exponenten på n: f S (z) ( ) n+ z n n= kan resultatet sammanfattas i den funktionellt enkla formen n s (3) Ω = gv (k B T )n c f 5/ (z) (33) Termofysik, Kai Nordlund Så man får att hela uttrycket är Med variabelbytet kan man skriva integralen I = 3k B T ( ) n+ z n dɛɛ 3/ e nɛ/k B T {{ n= B (4) ɛ = x dɛ = xdx ɛ 3/ = x 3 (5) B = Vi beräknar integralen med det följande bekanta tricket dxx 4 e nx /k B T I = dxx 4 e αx = d dxe αx dα {{ π α / (6) (7) där alltså allt beroende på z är i funktionen f Funktionen f S kan lätt beräknas med ett datorprogram. (notera att om z > divergerar den uppenbart): awk BEGIN { for(z=;z<=;z+=.) { \ s=; \ for(n=;n<;n++) s+=(-)^(n+)*z^n/(n^.5); \ print z,s; \ \ exit; > f3over_.dat och med att derivera två gånger med avseende på α fås I = 3 π 8 (8) α 5/ Termofysik, Kai Nordlund vilket ger Termofysik, Kai Nordlund

4 f S (z) f / f 3/ f 5/ f 7/ z (Orsaken att mindre värden på S ger mindre f S är helt enkelt att termen n = drar neråt summan och resten av det kan inte kompensera). Det totala partikeltalet: N = Ω µ = Ω z z µ, (34) Boltzmannstatistiken återfås om µ << och därmed z << : Vi ser vad som händer då z : (4) Då faller termerna i summan på f S mycket snabbt med ökande n, och kvar blir bara termen n = : f 5/ (z ) ( ) z 5/ (4) f 3/ (z ) ( ) z (4) 3/ Alltså gäller att f 5/ då z (43) f 3/ Om man dividerar ekvationen för N med ekvationen för Ω i ekvationerna 39 ser man alltså att man får Tillståndsekvationen P V N k BT då z (44) Termofysik, Kai Nordlund 3 Termofysik, Kai Nordlund 5 Då är Den andra delen vi behöver är z = e µ/k B T, (35) z µ = z; (36) k B T f 5/ (z) = ( ) n+ z n z n 3/ k B T z (37) n= vilket ju är den klassiska idealgaslagen! så man får och därmed vilket är tillståndsekvationen! N = +gv (k B T )n c n= { N = gv nc f 3/ (z) Ω = P V = gv n c (k B T )f 5/ (z) ( ) n+ z n n 3/ k B T z (38) (39) Termofysik, Kai Nordlund 4 Termofysik, Kai Nordlund 6

5 VIII... Den inre energin: VIII..3. Tillståndsekvationen vid höga temperaturer: Vi beräknar nu FD-gasens inre energi Vi beräknar nu tillståndsekvationen då T är stor, d.v.s. fugaciteten z = e µ/k B T kring. E = k ɛ k < n k > (45) ] N = gv n c f 3/ (z) = gv n c z z + 3/ (5) g V T m3/ dɛɛ 3/ π z eɛ/k B T + Detta är samma integral som uppträder i uttrycket för Ω, B, och dess resultat kan skrivas som (46) P V = gv n c (k B T )f 5/ (z) = gv n c (k B T ) ] z z + 5/ (5) så vi får B = 3 Jämförelse av detta med uttrycket för Ω visar att π (k BT ) 5/ f 5/ (z) (47) E = 3 gn cv k B T f 5/ (z) (48) P V = 3 E (49) Termofysik, Kai Nordlund 7 Vi introducerar hjälpvariabeln λ N gv n c = För att lösa detta med avseende på z skriver vi n = f 3/ (z) = z z gn c 3/ + (53) z = α λ + α λ (54) Termofysik, Kai Nordlund 9 vilket vi ju tidigare sett gälla också för en klassiskt Maxwell-Boltzmann-idealgas och Bose-Einsteinidealgasen. Alltså gäller E = 3 P V (5) och sätter in detta i uttrycket för λ, behållande termer högst av ordningen λ : För att detta skall gälla bör vi ha så λ = α λ + α λ α λ (55) α = samt α = ; (56) z = λ + λ (57) för alla tre huvudtyper av idealgaser: MB, BE och FD! Tillståndsekvationen P V = gv n c (k B T ) z 4 blir nu alltså till andra ordningen = gv n c (k B T ) λ + λ λ ] 4 z ] (58) (59) Termofysik, Kai Nordlund 8 Termofysik, Kai Nordlund

6 och med insättning av λ = n/gn c : eller alltså = gv n c (k B T ) n + gn c 4 g ( n ] ) +... n c = gv (k B T ) N + gv 4 g ( n ] ) +... n c P V = Nk B T + 4 g ( n ] ) +... n c Alltså är trycket i en Fermigas större än i en idealgas pga. exklusionsprincipen! Detta är motsatt resultat till det som erhölls för Bose-Einstein-gasen, men ett mycket naturligt resultat då man inte kan sätta många fermioner i samma tillstånd (och vice versa för bosoner!) (6) (6) (6) Alltså är t.ex. N = k n k = g 4πV mm ɛf dɛɛ / (π ) 3 {{ 3 ɛ3/ F N = V m 3/ ɛ 3/ F g (66) 3 π 3 Detta binder fast värdet på om partikeltätheten n = N/V är känt, och man får: (65) ( ) = 3π /3 m n/3 g (67) Detta ger också villkoret för när ett fermionsystem är praktiskt taget degenerarat, eller termodynamiskt kallt: >> k B T (68) Nu kan man också definiera flera relaterade storheter: Termofysik, Kai Nordlund Termofysik, Kai Nordlund 3 n k ε F VIII.. Degenererade Fermisystem T = ε Vi betraktar nu i mer detalj det degenererade Fermisystemet: n k = Vi byter än en gång summan till en integral: V dω (π ) 3 k {{ 4π { ɛk < ɛ k > (63) p dp {{ mɛ mdɛ (64) Fermi-temperaturen: Fermi-impulsen (rörelsemängden) Som funktion av denna kan man skriva n = ( p F Fermi-hastigheten definieras logiskt av T F = k B (69) p F = m (7) = n /3 ( 3π g ) /3 (7) )3 g 3π = g F 6π (p )3 (7) v F = p F /m (73) Men den avgörande skillanden är nu den att i alla integraler över n k räcker det med att integrerar till Fermi-energin! Termofysik, Kai Nordlund Termofysik, Kai Nordlund 4

7 VIII... Exempel på kalla Fermionsystem VIII... Elektrongasen i metaller: För elektroner är som sagt g =. Lednings-elektrondensiteten i metaller kan uppskattas som att varje atom avger av storleksordningen elektron till den ledande elektrongasen (för alkalimetaller stämmer detta med god noggrannhet, transitionsmetaller avger i själva verket några fler). Atomernas storlek ges av storleksordningen på atomradien Å. Alltså fås Metall (ev) Li 4.7 Na 3. K. Cu 7. Ag 5.5 Au 5.5 Vår enkla uppskattning var alltså ung. en faktor för stor, men detta förändrar inte den kvalitativa slutsatsen. n el n jon n at 4π Å 3 /3.Å 3. 3 m 3 Insättning av detta och g = i ekvationen för ger (74) VIII... Kärnmaterie = m e n /3 ( 3π )/3 ev (75) Nukleonerna (protoner och neutroner) är av storleksordning fm så och motsvarande Fermitemperatur T F 4 K (76) n 4π fm 3 /3.fm m 3 (78) Termofysik, Kai Nordlund 5 Termofysik, Kai Nordlund 7 Jämförelse av detta med rumstemperatur 3 K ev (77) 4 och deras massa är ung. u så: och motsvarande Fermitemperatur = u n/3 ( 3π )/3 68 MeV (79) T F 7.9 K (8) visar att elektrongasen i metaller är extremt kall vid rumstemperatur! Jämförelse av detta med typiska smälttemperaturer på metaller K. ev visar att elektrongasen i metaller är mycket kall i fasta metaller vid alla temperaturer!! Detta är den första stora orsaken varför FD-distributionen är så viktig i fasta ämnens fysik: ledningselektronerna beter sig helt enligt Fermistatistik vid nästan degenerarat tillstånd, som ju totalt avviker från den klassiska Boltzmann-statistiken! Alltså är kärnmaterian helt otroligt termodynamiskt kall vid rumstemperatur. Alla nukleoner är garanterat i grundtillståndet. Kärnmaterien blir exciterad (varm) först vid T 7 MeV. Detta är faktiskt en riktigt bra uppskattning: det ger en första förklaring till varför kärnexcitationsenergier typiskt är av ordningen MeV. För att verkligen hetta upp kärnor krävs högenergetiska (>> MeV) partikelacceleratorer. Här är ännu en tabell på några verkliga värden på : Termofysik, Kai Nordlund 6 VIII...3. Vita dvärgstjärnor Termofysik, Kai Nordlund 8

8 Vita dvärgstjärnor består huvudsakligen av He atomer. För vita dvärgar gäller typiskt (experimentella obsevationer): M exp M ; M = 3 kg (8) ρ 7 g/cm 3 (8) Landau-Lifshitz 57] VIII... Den inre energin hos att degenererat fermisystem Vi räknar nu inre energin för den degenererade Fermigasen. Integralen behöver givetvis bara göras till : E = U = n k ɛ k (88) Att temperaturen är så hög innebär att alla He-atomer är joniserade: T 7 K (83) 7 K 3 ev >> ev = He atomens jonisationsenergi. (84) V ɛf m3/ dɛ ɛɛg π 3 {{ 5 gɛ5/ F (89) Så man inser att vita dvärgar består av He-kärnor och elektroner i ett plasma. För elektronsystemet gäller då (vi approximerar att He-kärnans massa är 4u): n el = N V = M/4u M/ρ = ρ u (85) = E = Jämförelse med det tidigare resultatet, ekvation 66 N = V 3 5 V m 3/ g π 3 ɛ 5/ F (9) m 3/ g π 3 ɛ 3/ F (9) Termofysik, Kai Nordlund 9 Termofysik, Kai Nordlund 3 7 g/cm g 3 6 Å 3 (86) Jämförelse av dessa två ekvationer visar att: och därmed = m ( 3π n)/3.8 MeV >> kev (87) E N = 3 5 (9) Alltså är vita dvärgars temperatur ungefär miljoner grader Kelvin, men de är ändå termodynamiskt kalla! vilket ger energin per fermion! Termofysik, Kai Nordlund 3 Termofysik, Kai Nordlund 3

9 Nu har vid den märkbara förenklingen att så VIII..3. Tillståndsekvationen vid T = E = F (T = ) (93) P = F V = E V Med hjälp av resultatet för E/N (ekv. 9) får man Då Så man får för trycket P = 3 5 N V = 3 5 N( n ) dn dv n = N V (94) (95) = dn dv = N V (96) P = n ( n ) (97) Termofysik, Kai Nordlund 33 där κ S är den isentropiska kompressibiliteten. Vid T = är κ S = κ T Vi räknar nu så κ S = V ( V P ) = V ( P V ) (4) P V 5/3 = P V = 5 P (5) 3 V κ S = V ( 3 5 )V P = 3 5P c = ρ 3 5P Då ρ = mn kan man skriva ut detta som c = mn 3 5 5m n 5/3 ( g = 3π )/3 (6) 5 P = 3 ρ ρ/3 (7) (8) 3 m n /3 ( g 3π )/3 Termofysik, Kai Nordlund 35 Då så trycket blir och genom att skriva ut Då ser man att = m ( 3π g )/3 n /3 = n = 3 n (98) P = 3 5 n 3 n = 5 n (99) P = 5m n5/3 ( 3π g )/3 () n = ρ m () P ρ 5/3 P V 5/3 () Om man tillämpar detta på en elektrongas i metaller (jämför vårt tidigare estimat) får man Kompressibiliteten blir och därmed bulkmodulen P = 5 n =.4. 3 ev =.5 Pa (9) κ S = Pa = 4 () B = κ S =.5 Pa () Vi kan nu använda oss av detta för att räkna ut ljudets hastighet i en degenererad Fermigas. Ljudets hastighet c kan skrivas som c = ρκs, κ S = V ( V P ) S (3) Ljudets hastighet: c =. 3 6 m/s () m e (. 3 ) /3 ( 3π )/3 Termofysik, Kai Nordlund 34 Termofysik, Kai Nordlund 36

10 Vad betyder dessa värden? Kompressibiliteten är helt vettig, verkliga metallers bulkmoduler är typiskt av storleksordningen.5 Pa. Detta är faktiskt en av de viktiga komponenterna för kompressibliteten i metaller! Ashcroft-Mermin kap. ] Det inre trycket å andra sidan kan uppenbart inte vara den enda tryckkomponenten i en metall ty Pa = Mbar, en miljon gånger normaltryck. Det som ger en motstående komponent är attraktionen mellan elektronerna och de positivt laddade metalljonerna. Ljudets hastighet är mycket större än de som experimentellt observeras, km/s. Elektrongasen kan alltså inte förklara ljudets framskridande i metaller; istället är det fononerna/gittervibrationerna som gör det. Orsaken hänger igen ihop med växelverkan med jonerna, dock inte på något enkelt sätt. för mer info se Ashcroft-Mermin kap. 6]. På denna kurs går vi inte djupare in i ämnet gitter-elektron-växelverkningar. Termofysik, Kai Nordlund 37 De elektroner vars hastighetskomponent vinkelrätt mot den fria ytan är positiv och vars energi > φ frigörs från kristallen och bildar en s.k. emissionsström. Vi vill nu räkna ut denna ström. Då skall man räkna hur många elektroner som har en tilläcklig hastighet att komma över barriären φ i en dimension x. För elektroner är som känt Då så N = k n k = V d 3 g p (π ) 3 e (ɛ µ)/k B T + (3) g = (4) p = mv (5) d 3 p = m 3 d 3 v (6) dn(v) = V d 3 v (π ) 3m3 e (ɛ µ)/k B T + (7) Termofysik, Kai Nordlund 39 VIII.3. Elektrongasen i metaller Potentialenergin för elektroner i kristaller har kvalitativt sett följande form: E x Vi vill nu integrera bort dimensionerna y och z: dn(v x ) = V dv (π ) 3m3 x dv y dv z e (ɛ µ)/k B T + Vi byter om till polära koordinater i de dimensionerna y och z: (8) ɛ = m(v x + v y + v z ) (9) ε F φ Fri yta { vy = ρcosϕ v z = ρsinϕ () ρ = v y + v z () jon jon jon jon dv y dv z = dϕρdρ () För att en elektron i det översta elektronbandet ( = de elektroner som är svagast bundna till jonerna) skall kunna frigöras från en metallyta bör den ha en energi som överstiger arbetsfunktionen φ. Arbetsfunktionens storlek är i allmänhet några ev. Termofysik, Kai Nordlund 38 så man får e (ɛ µ)/k B T = e mρ /k B T e ( mv x µ/k B T ) (3) Vi gör variablebytet a = e ( mv x µ)/k B T : Termofysik, Kai Nordlund 4

11 samt ζ e mρ /k B T så man ser att V m3 dn(v x ) = (π ) 3dv x π dϕ = dζ = mρ /kb k B T dρemρ T ρdρ = dζ m k B T emρ /k B T ρdρ ae mρ /k B T + = k BT dζ m ζ Integreringsgränserna blir nu och ty ρ = ger ζ = e = Alltså blir Integralen blir dn(v x ) = dζ ζ(aζ + ) = V m3 (π ) 3dv xπ k BT m dζ ζ dζ ζ(aζ + ) (4) (5) (6) (7) a / aζ + = ln ζ ln(aζ + ) (8) Termofysik, Kai Nordlund 4 A v x t v x Emissionsströmtätheten är där e är elektronens laddning och gränshastigheten v ges av Antalet elektroner som emitteras genom ytan med en hastighet mellan (v x ) och (v x + dv x ) per tidsenhet dt och ytenhet da ges av följande resonemang. Antalet partiklar dn V i volymen dv = dav x dt är denna volym gånger tätheten av partiklar dn(v x )/V : dn V = dav x dt dn(v x) (34) V Antalet som kommer ut per tidsenhet och areaenhet är detta dividerat med dadt eller alltså dn(v x ) v x (35) V dn(v x ) j = e v x (36) v V mv = φ + ɛ (φ + ) F v = m (37) Termofysik, Kai Nordlund 43 = ln ln ln(a + ) + ln(a + ) (9) = ln ln ln (a( + a ) ) + ln (a( + a ) ) = { { = ln + ln a + a (3) (3) Alltså j = e V m k B T π 3 V v dv x v x ln { + e (µ mv x )/k B T (38) µ är i termodynamisk kalla system ungefär. För att en elektron skulle emitteras från metallen bör det gälla at elektronen har en kinetisk energi som är klart ovanför (kom ihåg formen på Fermi-distributionen). Alltså är Å andra sidan är i termodynamiskt kalla system µ mv x < (39) = ln + a = ln( + ); (3) a så kt << (4) (µ mv x )/k BT << och därmed e (µ mv x )/k B T << (4) Alltså blir dn(v x ) = 4πV k B T (π ) 3dv x { m ln + e ( mv x µ)/k B T (33) Därmed kan man approximera ln { + e (µ mv x )/k B T e µ/k B T e mv x /k B T (4) Termofysik, Kai Nordlund 4 Termofysik, Kai Nordlund 44

12 så j = e m k B T π 3 eµ/k B T dv x v x e mvx /k B T v {{ A (43) A = k BT m d dv x e mv v dv x x /k B T (44) så Då fås = k BT m ( )e mv vilket är känt som Richardson-Dushmans ekvation. /k B T (45) j = e m(k BT ) π 3 e (φ µ+ )/k B T (46) µ (47) j e m π 3(k BT ) e φ/k B T (48) Termofysik, Kai Nordlund 45 Cushman, Heering, CMS HCAL Hybrid Photodiode Design and Quality Assurance Stations, ICFA Instrumentation bulleting Vol.5 ()] Alltså kan en helt makroskopisk strömmätning användas för att bestämma φ, som är helt mikroskopisk till sitt ursprung! Termofysik, Kai Nordlund 47 Detta avviker klart från resultatet för Boltzmann-statistik som skulle ha gett: Man kan räkna ihop konstanterna till A = e m π 3k B =. A cm K (5) vilket är mycket nära det experimentella värdet på A = A cm för Cs, och rätt storleksordning K för många andra metaller! Paakkari sid. 5] j T e φ/k B T (49) Richardson-Dushmans ekvation visar sig stämma väl överens med experiment vid höga temperaturer. Nedan är färskt data över ln j/t vs. /kt som ju skall bli en rak linje om Richardson-Dushmans ekvation stämmer: Termofysik, Kai Nordlund 46 Termofysik, Kai Nordlund 48

13 VIII.4. Fermigaser vid låga temperaturer Nu skall vi se på Fermigasen vid låga temperaturer, som alltså är högre än temperaturen T = vi just såg på! Skillnaden är nu att vi inte kan mera betrakta Fermidistributionen som en box, utan måste betrakta den lilla avvikelsen från boxformen. Vid låga temperaturer är µ > för fermigaser (ty µ avviker bara litet från, som ju måste vara positiv enligt ekvation 67) vilket innebär att fugaciteten z är >> : Den senare delen är summan av en geometrisk serie så man får = n= = k= dxze x x / ( ) n z n e nx (58) dxz k ( ) k+ x / e kx (59) z = e µ/k B T >>. (5) De allmänna uttryckena N = gv n c f 3/ (z) (5) Ω = P V = gv n c (k B T )f 5/ (z), (53) med funktionerna f givna som potensserier av z blir då värdelösa då serierna inte konvergerar snabbt: f S (z) = ( ) k+ z k (54) k S k= = z k ( ) k+ k= dxx / e kx {{ dyy e ky {{ dye ky k {{ π k / π 4 k 3/ {{ (6) Termofysik, Kai Nordlund 49 Termofysik, Kai Nordlund 5 För att få användbara uttryck nära T = måste funktionerna skrivas i sin ursprungliga form som integraler (jämför ekv. 3-3). Integralerna är π = ( ) k+ z k (6) k 3/ k= f 3/ (z) = dx x/ π z ex + (55) Vi definierar en allmän I n : f 5/ (z) = 4 3 π dx x3/ z ex + (56) I n = xn dx z ex + = x n dx e x µ/k B T + (6) Nu är alltså n =, 3 intressanta fall. Man kommer fram till dessa former från de tidigare ekv. 3-3 genom att räkna: Vi delar upp integralen i två olika intervall: dx x/ z ex + = dx ze x x / + ze x (57) I n = µ/kb T x n dx e x µ/k B T + + µ/k B T x n dx e x µ/k B T + (63) Termofysik, Kai Nordlund 5 Termofysik, Kai Nordlund 5

14 och förlänger den första integralens kvot med e x+µ/k B T : = µ/kb T dx xn e x+µ/k B T e x+µ/k B T + + µ/k B T Nu kan man skriva om den första integranden som x n e x+µ/k B T x n dx e x µ/k B T + e x+µ/k B T + = e x+µ/kbt + xn e x+µ/k B T + (64) (65) = x n x n + e x+µ/k B T (66) och därmed dela den första integralen i två delar: I n = µ/kb T Vi gör variabelbytena dxx n + µ/k B T x n dx e x µ/k B T + µ/kb T x n dx e x+µ/k B T + (67) x µ/k B T = y i andra integralen och x + µ/k B T = y i tredje (68) Termofysik, Kai Nordlund 53 Med denna approximation och med att utföra den första integralen får man = I n (n + ) ( µ k B T )n+ + (n + ) ( µ k B T )n+ + ( µ k B T )n ( µ k dy B T + y)n ( µ k B T y)n e y + dy ( + yk BT µ )n ( yk B T µ )n e y {{ + k B T n µ y (73) e y + där vi använt oss av det faktum att då k B T ger Taylorutvecklingen av ( + x) n + nx. Alltså blir I n = Alltså fås för de två intressanta fallen: (n + ) ( µ k B T )n+ + n( µ k B T )n y dy e y + {{ π (74) (75) I / ( 3 )( µ k B T )3/ + ( µ π k B T ) / +... (76) Termofysik, Kai Nordlund 55 vilket innebär att integreringsgränserna också ändras: µ/k B T ; i andra integralen (69) µ/k B T ; µ/k B T i tredje integralen (7) Men i tredje integralen är också dx = dy så det slutliga integreringsintervallet blir samma som det ursprungliga efter teckenbyte! Därmed får man I n = µ/kb T dxx n + Då k B T blir den sista integralen approximativt ( µ k dy B T + y)n µ/kb T ( µ k dy B T y)n e y + e y + (7) = 3 ( µ k B T )3/ { + π 8 (k BT µ ) (77) I 3/ 5 ( µ k B T )5/ + 3 ( µ π k B T )/... (78) = 5 ( µ k B T )5/ π ( k BT µ ) +..] (79) Därmed får vi nu tillståndsekvationen för Fermigasen nära T = : N = V gn c f 3/ (z) = V gn c π I / (8) : Ω = P V = gv n c (k B T )f 5/ (z) = V gn c (k B T ) 4 3 π I 3/ (8) ( µ k dy B T y)n e y + (7) VIII.4... Den kemiska potentialen nära T = Termofysik, Kai Nordlund 54 Termofysik, Kai Nordlund 56

15 Vi har nu alltså: där ju så N = V gn c π 3 ( µ k B T )3/ + π 8 (k BT µ ) ] (8) n c ( mk BT π )3/ (83) N = V g( m π )3/ π 3 µ3/ + π 8 (k BT µ ) ] (84) ( ) Å andra sidan är ju = m n/3 3π /3 g där n = N/V (utan någon approximation). Om man löser ut N ur detta får man N = V g π 3 ɛ3/ F ( m (85) π )3/ Division av dessa två ekvationer ger = ( µ ] ) 3/ + π 8 (k BT µ ) (86) Detta ger oss nu första approximationen på temperaturnberoendet av µ(t ). För att få den gör vi Termofysik, Kai Nordlund 57 varur Alltså är i denna approximation µ(t ) = α = π k B (9) µ(t ) = π k B T π (9) ( ) kb T +...] Detta är alltså den kemiska potentialens temperaturberoende! VIII.4... Tillståndsekvationen nära T = Vi kan nu också beräkna tillståndsekvationen ur vårt resultat för Ω, ekv. 8: (93) Termofysik, Kai Nordlund 59 en ansats µ(t ) = + αt + O(T 4 ): = + αt ] 3/ där vi genast lämnat bort termer av ordningen T 4 /ɛ 4 F. ] + π 8 (k BT )... (87) P V = Ω = V g( m (k π )3/ B T ) 5/ 4 3 π 5 ( µ { k B T )5/ π ( k BT µ ) +... = V g( m { 8 π )3/ 5 π µ5/ π ( k BT µ ) +... (94) (95) Alltså är med Taylorserien ( + x) n + nx: + 3 ] ] αt + π 8 (k BT ) För att denna likhet skall gälla bör vi givetvis ha (88) ] 3 + T α + π k +... (89) 8ɛ F Vid T = har vi alltså (då där är µ = ): Men tidigare härledde vi P V = V g( m π )3/ 8 5 π ɛ5/ F (T = ) (96) P V = 3 E; E = 3 5 N (T = ) (97) 3 α = π k B 8ɛ F (9) P V = 5 N (T = ) (98) Termofysik, Kai Nordlund 58 Termofysik, Kai Nordlund 6

16 Jämförelse av de två uttryckena för P V vid T = visar att vi måste ha: 5 N = V g( m 8 π )3/ 5 π ɛ5/ F ; (99) varvid C V = E T = 3 5 Nɛ 5 F π k B T ɛ F (5) Därmed kan uttrycket för P V vid ändlig T skrivas i enklare form som varvid till andra ordningen: P V = 5 N ( µ { ) 5/ + 5 {{ 8 π ( k BT µ ) +... ] 5/ {{ π (k BT ) π ( k ] BT ) ɛ F {{ P V = 5 N 5π 4 (k B T ) 5π 4 (k BT ) π ( k ] BT ) +... () () C V T 3 C V Alltså kan man genom att anpassa kurvor av typen T = π (k B T ) (6) Då elektrongasen är en kall Fermigas gäller för metaller vid ytterst låga temperaturer där blott elektrongasens specifika värme spelar någon roll att C V T. Vid högre temperaturer gäller Debye s teori och C V T 3. C V = γt + AT 3 C V /T = γ + AT (7) Termofysik, Kai Nordlund 6 Termofysik, Kai Nordlund 63 P V = 5 N + 5 π ( k ] BT ) +... () Här är det intressant att notera att (för första gången på denna kurs) reduceras denna gastillståndsekvation inte uppenbart till P V = Nk B T med något enkelt gränsvärde! till experimentellt C V -data testa Fermi-elektrongasmodellen. Om man plottar data i formen C V /T vs. T borde man ha ett linjärt beroende som skär x-axeln vid ett ändligt värde Här är en sådan plot för K: För Fermigaser vid godtycklig T gäller VIII Det specifika värmet nära T = : E = U = 3 Ω = 3 P V (3) Vår approximation för P V ger därmed för energin E = 3 5 N { + 5 π ( k BT ) +... (4) Termofysik, Kai Nordlund 6 som alltså följer teorins förutspåelse extremt bra! Termen γ testar då elektrongas-bidraget och T 3 Debye-modellens fononer. Termofysik, Kai Nordlund 64

17 Här är en tabell av experimentella resultat, och resultat som fåtts med formeln (6) I de allra flesta fall stämmer teorin alltså bra överens med resultaten, men i några (Nb, Fe, Mn, Bi, Sb) misslyckas den fenomenalt. Termofysik, Kai Nordlund 65 Termofysik, Kai Nordlund 67 VIII.5. Fermigasernas paramagnetism Den magnetiska suskeptibiliteten definieras (jfr. tidigare på kursen): M = χb/µ (M = χh) (8) Paramagnetism har per definition χ > och diamagnetism χ <. Vid låga temperaturer uppvisar fermisystem både paramagnetiskt och diamagnetiskt beteende. Fermisystemens paramagnetism kallas Pauli-paramagnetism. En elektrongas suskeptibilitet är en kombination av den paramagnetiska och den diamagnetiska suskeptibiliteten: χ = χ P + χ D (9) I allmänhet är χ P >> χ D. Energin hos en elektron i ett yttre magnetiskt fält (flödestäthet) B är om elektronens magnetiska Termofysik, Kai Nordlund 66 Termofysik, Kai Nordlund 68

18 moment är m: ɛ = p m m B () För elektroner kan spinnet vara lika riktad med fältet eller motsatt riktat med fältet: m B eller m B där den första pilen symboliserar elektronens och den andra fältets riktning. Om (+) och ( ) systemen är i jämvikt gäller µ + = µ (5) För de elektroner som har spinn parallelt till fältet m B är medan för de som har m B ɛ = p m m B, () ɛ = p m + m B. () så m B = µ(n + ) µ(n ) (6) En elektrongas i ett yttre fält kan betraktas som en kombination av två skilda fermigaser: den ena med alla spinn (magnetiska moment) upp (dvs. i fältets riktning) och den andra med spinn ned. Vi betecknar: N = totalt antal elektroner Termofysik, Kai Nordlund 69 I fallet B = är µ(n + ) = µ(n ) varav följer att N + = N = N/, vilket ju är ett helt naturligt resultat. Om B kommer magnetfältet att förflytta energinivån för de två systemen i obalans: Termofysik, Kai Nordlund 7 N + = # el. med spinn upp m : + N = # el. med spinn ned N + + N = N m : (+) systemets kemiska potential är µ + = µ(n + ) m B (3) µ(n + ) = kemisk potential för ett fermisystem med N + partiklar och degenerationsfaktorn. ( ) systemets kemiska potential är µ = µ(n ) + m B (4) Vi definierar ν = överskott av partiklar: N + = N + ν, (7) Termofysik, Kai Nordlund 7 Termofysik, Kai Nordlund 7

19 Med denna definition är N = N ν. (8) m B = µ( N + ν) µ(n Om B är ett svagt fält kan ν förväntas vara litet varigenom så man får ν) (9) µ( N ( ) µ + ν) µ(n ) + ν +... () N N/ µ( N ( ) µ ν) µ(n ) ν +... () N N/ ( ) µ m B ν N ( ) µ m B ν N N/ N/ () (3) Termofysik, Kai Nordlund 73 När vi nu betraktar elektroner med enbart ett spinntillstånd åt gången är degenerationsfaktorn : och därmed så ( ) µ N g s = µ(n) = m (3π N V )/3 (9) µ N = 3 µ(n/) µ(n) N = N/ 3 (N/) = 3 N (3) m ( 3π N V )/3 (3) Om vi jämför detta med för det totala fermisystemet då B = med både spinn-upp och spinn-ner ( + )-elektroner (g = ) = m (3π n )/3 (3) Termofysik, Kai Nordlund 75 Magnetiseringen är M = V m N + m N ] = m ν; (4) V eller med insättningen av ν löst ur ekv. 3 M = m V B ( µ N ) N/ (5) ser man att man kan skriva varmed vi får från ekv. 7 ( ) µ N N/ = 4 3N (33) χ = m µ 3N = 3 m µ n (34) V 4 Då ser man att detta ger M = χh; B = µ H (6) χ = m µ V ( µ N ) Vid termodynamiskt kalla system eller alltså nära T = är N/ (7) µ(n) = (N) = m (3π n g s ) /3 (8) Termofysik, Kai Nordlund 74 Detta kan vi jämföra med vårt resultat från klassisk Curie-teori (se kapitel II.4.): som beskrev elektroner med Boltzmann-statistik. χ = m nµ T Vi ser alltså en dramatisk skillnad vid låga T mellan det klassiska och kvantmekaniska beteendet: (35) Termofysik, Kai Nordlund 76

20 χ 3 -- m µ n ε F klassisk Langevin-teori T Vad har du åtminstone lärt dig i detta kapitel? Du kan härleda Fermi-Dirac-distributionen och känner till dess fysikaliska innebörd Du känner till begreppet degenererat Fermisystem, termodynamiskt kall, och förstår deras fysikaliska innebörd Du vet hur begreppen Fermi-energi, -temperatur, och -hastighet härleds och hänger ihop med varandra Du vet att många praktiskt viktiga Fermisystem är i praktiken helt degenererade. Du förstår begreppet elektrongas i metaller Du förstår hur Fermigasers paramagnetism fungerar. Men som det konstaterades tidigare på kursen (kapitel III.5) kan inte Curies lag gälla vid T = p.g.a. III grundlagen. Nu har vi alltså äntligen härlett det korrekta beteendet! Termofysik, Kai Nordlund 77 Termofysik, Kai Nordlund 78

VIII. Fermi-Dirac-statistik

VIII. Fermi-Dirac-statistik VIII. Fermi-Dirac-statistik Viktiga målsättningar med detta kapitel Kunna härleda Feri-Dirax-distributionen och känna till dess fysikaliska innebörd Känna till begreppet degenererat Fermisystem, termodynamiskt

Läs mer

VI. Reella gaser. Viktiga målsättningar med detta kapitel. VI.1. Reella gaser

VI. Reella gaser. Viktiga målsättningar med detta kapitel. VI.1. Reella gaser I. Reella gaser iktiga målsättningar med detta kapitel eta vad virialutvecklingen och virialkoefficienterna är Kunna beräkna första termen i konfigurationsintegralen Känna till van der Waal s gasekvation

Läs mer

Materiens Struktur. Lösningar

Materiens Struktur. Lösningar Materiens Struktur Räkneövning 3 Lösningar 1. Studera och begrunda den teoretiska förklaringen till supralednigen så, att du kan föra en diskussion om denna på övningen. Skriv även ner huvudpunkterna som

Läs mer

Instuderingsfrågor, Griffiths kapitel 4 7

Instuderingsfrågor, Griffiths kapitel 4 7 Joakim Edsjö 15 oktober 2007 Fysikum, Stockholms Universitet Tel.: 08-55 37 87 26 E-post: edsjo@physto.se Instuderingsfrågor, Griffiths kapitel 4 7 Teoretisk Kvantmekanik II HT 2007 Tanken med dessa frågor

Läs mer

Innehållsförteckning. I. Introduktion och första grundlagen I.1. Överblick och motivation

Innehållsförteckning. I. Introduktion och första grundlagen I.1. Överblick och motivation Innehållsförteckning Notera: denna förteckning uppdateras under kursens lopp, men stora förändringar är inte att vänta. I. Introduktion och första grundlagen I.1. Överblick och motivation I.1.1. Vad behandlar

Läs mer

4-1 Hur lyder Schrödingerekvationen för en partikel som rör sig i det tredimensionella

4-1 Hur lyder Schrödingerekvationen för en partikel som rör sig i det tredimensionella KVANTMEKANIKFRÅGOR Griffiths, Kapitel 4-6 Tanken med dessa frågor är att de ska belysa de centrala delarna av kursen och tjäna som kunskapskontroll och repetition. Kapitelreferenserna är till Griffiths.

Läs mer

29. Stimulerad och spontan emission

29. Stimulerad och spontan emission 29. Stimulerad och spontan emission [Främst ur Alonso-Finn III sid 532] Vi betraktar nu ett system av atomer med två energinivåer E 1 och E 2 (> E 1 ) och ett omgivande fotonsystem med energin ω = hν =

Läs mer

Tentamen i FTF140 Termodynamik och statistisk fysik för F3

Tentamen i FTF140 Termodynamik och statistisk fysik för F3 Chalmers Institutionen för Teknisk Fysik Göran Wahnström Tentamen i FTF4 Termodynamik och statistisk fysik för F3 Tid och plats: Tisdag aug, kl 8.3-.3 i Väg och vatten -salar. Hjälpmedel: Physics Handbook,

Läs mer

Idealgasens begränsningar märks bäst vid högt tryck då molekyler växelverkar mera eller går över i vätskeform.

Idealgasens begränsningar märks bäst vid högt tryck då molekyler växelverkar mera eller går över i vätskeform. Van der Waals gas Introduktion Idealgaslagen är praktisk i teorin men i praktiken är inga gaser idealgaser Den lättaste och vanligaste modellen för en reell gas är Van der Waals gas Van der Waals modell

Läs mer

14. Sambandet mellan C V och C P

14. Sambandet mellan C V och C P 14. Sambandet mellan C V och C P Vi skriver tillståndsekvationen i de alternativa formerna V = V (P, T ) och S = S(T, V ) (1) och beräknar ds och dv genom att dela upp dem i partiella derivator ds = (

Läs mer

Lite fakta om proteinmodeller, som deltar mycket i den här tentamen

Lite fakta om proteinmodeller, som deltar mycket i den här tentamen Skriftlig deltentamen, FYTA12 Statistisk fysik, 6hp, 28 Februari 2012, kl 10.15 15.15. Tillåtna hjälpmedel: Ett a4 anteckningsblad, skrivdon. Totalt 30 poäng. För godkänt: 15 poäng. För väl godkänt: 24

Läs mer

Tentamen i Termodynamik och Statistisk fysik för F3(FTF140)

Tentamen i Termodynamik och Statistisk fysik för F3(FTF140) Chalmers Tekniska Högskola Institutionen för Teknisk Fysik Mats Granath Tentamen i Termodynamik och Statistisk fysik för F(FTF40) Tid och plats: Torsdag /8 008, kl. 4.00-8.00 i V-huset. Examinator: Mats

Läs mer

Fysikaliska modeller

Fysikaliska modeller Fysikaliska modeller Olika syften med fysiken Grundforskarens syn Finna förklaringar på skeenden i naturen Ställa upp lagar för fysikaliska skeenden Kritiskt granska uppställda lagar Kontrollera uppställda

Läs mer

Lösningsförslag till deltentamen i IM2601 Fasta tillståndets fysik. Onsdagen den 30 maj, Teoridel Ê Á Ê. B B T Ë k B T Ê. exp m BBˆ.

Lösningsförslag till deltentamen i IM2601 Fasta tillståndets fysik. Onsdagen den 30 maj, Teoridel Ê Á Ê. B B T Ë k B T Ê. exp m BBˆ. Lösningsförslag till deltentamen i IM60 Fasta tillståndets fysik Paramagnetism i ett tvånivåsystem Onsdagen den 30 maj, 0 Teoridel. a) För m S = - är m S z = -m B S z = +m B och energin blir U = -m B B

Läs mer

VII. Bose-Einstein-statistik

VII. Bose-Einstein-statistik VII. Bose-Einstein-statistik Hittills har vi under kursen behandlat statistik för klassiska partiklar. Nu börjar vi se på s.k. kvantstatistik, dvs. statistisk mekanik för partiklar som beter sig kvantmekaniskt.

Läs mer

Tentamen i FTF140 Termodynamik och statistisk mekanik för F3

Tentamen i FTF140 Termodynamik och statistisk mekanik för F3 Chalmers Institutionen för Teknisk Fysik Göran Wahnström Tentamen i FTF14 Termodynamik och statistisk mekanik för F3 Tid och plats: Onsdag 15 jan 14, kl 8.3-13.3 i Maskin -salar. Hjälpmedel: Physics Handbook,

Läs mer

Föreläsning 6. Amplituder Kvanttillstånd Fermioner och bosoner Mer om spinn Frågor Tentan. Fk3002 Kvantfysikens grunder 1

Föreläsning 6. Amplituder Kvanttillstånd Fermioner och bosoner Mer om spinn Frågor Tentan. Fk3002 Kvantfysikens grunder 1 Föreläsning 6 Amplituder Kvanttillstånd Fermioner och bosoner Mer om spinn Frågor Tentan Fk3002 Kvantfysikens grunder 1 Betrakta ett experiment med opolariserade elektroner dvs 50% är spinn-upp och 50%

Läs mer

Sammanfattning av räkneövning 1 i Ingenjörsmetodik för ME1 och IT1. SI-enheter (MKSA)

Sammanfattning av räkneövning 1 i Ingenjörsmetodik för ME1 och IT1. SI-enheter (MKSA) Sammanfattning av räkneövning 1 i Ingenjörsmetodik för ME1 och IT1 Torsdagen den 4/9 2008 SI-enheter (MKSA) 7 grundenheter Längd: meter (m), dimensionssymbol L. Massa: kilogram (kg), dimensionssymbol M.

Läs mer

Räkneövning 5 hösten 2014

Räkneövning 5 hösten 2014 Termodynamiska Potentialer Räkneövning 5 hösten 214 Assistent: Christoffer Fridlund 1.12.214 1 1. Vad är skillnaden mellan partiklar som följer Bose-Einstein distributionen och Fermi-Dirac distributionen.

Läs mer

Energidiagram enligt FEM

Energidiagram enligt FEM MEALLER emperaturens inverkan på elektrontillståndens fyllnadsgrad i en frielektronmetall I grundtillståndet besätter elektronerna de lägsta N e /2 st tillstånden med två elektroner i varje tillstånd.

Läs mer

Kap 4 energianalys av slutna system

Kap 4 energianalys av slutna system Slutet system: energi men ej massa kan röra sig över systemgränsen. Exempel: kolvmotor med stängda ventiler 1 Volymändringsarbete (boundary work) Exempel: arbete med kolv W b = Fds = PAds = PdV 2 W b =

Läs mer

Föreläsning 1: Introduktion, Mikro och makrotillstånd, Multiplicitet, Entropi

Föreläsning 1: Introduktion, Mikro och makrotillstånd, Multiplicitet, Entropi Version: 16 maj 201. TFYA12, Rickard Armiento, Föreläsning 1 Föreläsning 1: Introduktion, Mikro och makrotillstånd, Multiplicitet, Entropi April 2, 201, KoK kap. 1-2 Formalia Föreläsare och kursansvarig:

Läs mer

TATA42: Föreläsning 6 Potensserier

TATA42: Föreläsning 6 Potensserier TATA4: Föreläsning 6 Potensserier Johan Thim januari 7 Vi ska nu betrakta serier där termerna inte längre är konstanter. Speciellt ska vi studera så kallade potensserier. Dessa definieras som a k x k a

Läs mer

Lösningsanvisningar till tentamen i SI1161 Statistisk fysik, 6 hp, för F3 Onsdagen den 2 juni 2010 kl. 14.00-19.00

Lösningsanvisningar till tentamen i SI1161 Statistisk fysik, 6 hp, för F3 Onsdagen den 2 juni 2010 kl. 14.00-19.00 EOREISK FYSIK KH Lösningsanvisningar till tentamen i SI1161 Statistisk fysik, 6 hp, för F3 Onsdagen den juni 1 kl. 14. - 19. Examinator: Olle Edholm, tel. 5537 8168, epost oed(a)kth.se. Komplettering:

Läs mer

Materiens Struktur. Lösningar

Materiens Struktur. Lösningar Materiens Struktur Räkneövning 4 Lösningar 1. Sök på internet efter information om det senast upptäckta grundämnet. Vilket masstal och ordningsnummer har det och vilka är de angivna egenskaperna? Hur har

Läs mer

Tentamen i FUF050 Subatomär Fysik, F3

Tentamen i FUF050 Subatomär Fysik, F3 Tentamen i FUF050 Subatomär Fysik, F3 Tid: 013-05-30 fm Hjälpmedel: Physics Handbook, nuklidkarta, Beta, Chalmersgodkänd räknare Poäng: Totalt 75 poäng, för betyg 3 krävs 40 poäng, för betyg 4 krävs 60

Läs mer

Tentamen i FTF140 Termodynamik och statistisk mekanik för F3

Tentamen i FTF140 Termodynamik och statistisk mekanik för F3 Chalmers Institutionen för Teknisk Fysik Göran Wahnström Tentamen i FTF14 Termodynamik och statistisk mekanik för F3 Tid och plats: Tisdag 25 aug 215, kl 8.3-13.3 i V -salar. Hjälpmedel: Physics Handbook,

Läs mer

14. Sambandet mellan C V och C P

14. Sambandet mellan C V och C P 14. Sambandet mellan C V och C P Vi skriver tillståndsekvationen i de alternativa formerna V = V (P, T ) och S = S(T, V ) (1) och beräknar ds och dv genom att dela upp dem i partiella derivator ds = (

Läs mer

Införa begreppen ström, strömtäthet och resistans Ohms lag Tillämpningar på enkla kretsar Energi och effekt i kretsar

Införa begreppen ström, strömtäthet och resistans Ohms lag Tillämpningar på enkla kretsar Energi och effekt i kretsar Kapitel: 25 Ström, motstånd och emf (Nu lämnar vi elektrostatiken) Visa under vilka villkor det kan finnas E-fält i ledare Införa begreppet emf (electromotoric force) Beskriva laddningars rörelse i ledare

Läs mer

Andra föreläsningen kapitel 7. Patrik Lundström

Andra föreläsningen kapitel 7. Patrik Lundström Andra föreläsningen kapitel 7 Patrik Lundström Kvantisering i klassisk fysik: Uppkomst av heltalskvanttal För att en stående våg i en ring inte ska släcka ut sig själv krävs att den är tillbaka som den

Läs mer

Sensorer, effektorer och fysik. Grundläggande fysikaliska begrepp som är viktiga inom mättekniken

Sensorer, effektorer och fysik. Grundläggande fysikaliska begrepp som är viktiga inom mättekniken Sensorer, effektorer och fysik Grundläggande fysikaliska begrepp som är viktiga inom mättekniken Innehåll Grundläggande begrepp inom mekanik. Elektriskt fält och elektrisk potential. Gauss lag Dielektrika

Läs mer

Föreläsning 12: Ideal gas i klassiska gränsen med inre frihetsgrader, ekvipartitionsprincipen

Föreläsning 12: Ideal gas i klassiska gränsen med inre frihetsgrader, ekvipartitionsprincipen Föreläsning 12: Ideal gas i klassiska gränsen med frihetsgrader, ekvipartitionsprincipen April 26, 2013, KoK kap. 6 Centrala ekvationer i statistisk mekanik Mikrokanonisk ensemble (U,,N konst):p s = 1/g,

Läs mer

Föreläsning 3. Radioaktivitet, alfa-, beta-, gammasönderfall

Föreläsning 3. Radioaktivitet, alfa-, beta-, gammasönderfall Radioaktivitet, alfa-, beta-, gammasönderfall Halveringstid (MP 11-3, s. 522-525) Alfa-sönderfall (MP 11-4, s. 525-530) Beta-sönderfall (MP 11-4, s. 530-535) Gamma-sönderfall (MP 11-4, s. 535-537) Se även

Läs mer

r 2 Arbetet är alltså endast beroende av start- och slutpunkt. Det följer av att det elektriska fältet är konservativt ( E = 0).

r 2 Arbetet är alltså endast beroende av start- och slutpunkt. Det följer av att det elektriska fältet är konservativt ( E = 0). 1 Föreläsning 2 Motsvarar avsnitten 2.4 2.5 i Griffiths. Arbete och potentiell energi (Kap. 2.4) r 1 r 2 C Låt W vara det arbete som måste utföras mot ett givet elektriskt fält E, då en laddning Q flyttas

Läs mer

7. Anharmoniska effekter

7. Anharmoniska effekter 7. Anharmoniska effekter [HH 2.7, Kittel 5, (AM 25)] Hittills har sambandet mellan atomers växelverkningsmodellers komplexitet och de effekter de kan förklara fortskridit ungefär på följande sätt: Term

Läs mer

Mer om E = mc 2. Version 0.4

Mer om E = mc 2. Version 0.4 1 (6) Mer om E = mc Version 0.4 Varifrån kommer formeln? För en partikel med massan m som rör sig med farten v har vi lärt oss att rörelseenergin är E k = mv. Denna formel är dock inte korrekt, även om

Läs mer

Tentamen i Modern fysik, TFYA11/TENA

Tentamen i Modern fysik, TFYA11/TENA IFM - Institutionen för Fysik, Kemi och Biologi Linköpings universitet Tentamen i Modern fysik, TFYA11/TENA Fredagen den 21/12 2012 kl. 14.00-18.00 i TER2 och TER3 Tentamen består av 2 A4-blad (inklusive

Läs mer

9. Magnetisk energi [RMC 12] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 9.1

9. Magnetisk energi [RMC 12] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 9.1 9. Magnetisk energi [RMC 12] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 9.1 9.1. Magnetisk energi för en isolerad krets Arbetet som ett batteri utför då det för en laddning dq runt en krets, från batteriets

Läs mer

9. Materiens magnetiska egenskaper. 9.0 Grunder: upprepning av elektromagnetism

9. Materiens magnetiska egenskaper. 9.0 Grunder: upprepning av elektromagnetism 530117 Materialfysik vt 2010 9. Materiens magnetiska egenskaper [Callister, Ashcroft-Mermin, Kittel, etc. Se också anteckningarna för Fasta Tillståndets fysik kapitel 14-15] 9.0 Grunder: upprepning av

Läs mer

Förslag: En laddad partikel i ett magnetfält påverkas av kraften F = qvb, dvs B = F qv = 0.31 T.

Förslag: En laddad partikel i ett magnetfält påverkas av kraften F = qvb, dvs B = F qv = 0.31 T. 1. En elektron rör sig med v = 100 000 m/s i ett magnetfält. Den påverkas av en kraft F = 5 10 15 N vinkelrätt mot rörelseriktningen. Rita figur och beräkna den magnetiska flödestätheten. Förslag: En laddad

Läs mer

Partiklars rörelser i elektromagnetiska fält

Partiklars rörelser i elektromagnetiska fält Partiklars rörelser i elektromagnetiska fält Handledning till datorövning AST213 Solär-terrest fysik Handledare: Magnus Wik (2862125) magnus@lund.irf.se Institutet för rymdfysik, Lund Oktober 2003 1 Inledning

Läs mer

Magnetism. Beskriver hur magneter med konstanta magnetfält, t.ex. permanentmagneter, växelverkar med varandra och med externa magnetfält.

Magnetism. Beskriver hur magneter med konstanta magnetfält, t.ex. permanentmagneter, växelverkar med varandra och med externa magnetfält. Magnetism Magnetostatik eskriver hur magneter med konstanta magnetfält, t.ex. permanentmagneter, växelverkar med varandra och med externa magnetfält. Vi känner till följande effekter: 1. En fritt upphängd

Läs mer

X. Repetitia mater studiorum

X. Repetitia mater studiorum X. Repetitia mater studiorum Termofysik, Kai Nordlund 2012 1 X.1. Termofysikens roll Den statistiska fysikens eller mekanikens uppgift är att härleda de fysikaliska egenskaperna hos makroskopiska system

Läs mer

Kapitel: 32 Elektromagnetiska vågor Maxwells ekvationer Hur accelererande laddningar kan ge EM-vågor

Kapitel: 32 Elektromagnetiska vågor Maxwells ekvationer Hur accelererande laddningar kan ge EM-vågor Kapitel: 3 lektromagnetiska vågor Maxwells ekvationer Hur accelererande laddningar kan ge M-vågor genskaper hos M-vågor nergitransport i M-vågor Det elektromagnetiska spektrat Maxwell s ekvationer Kan

Läs mer

Exempel på statistisk fysik Svagt växelverkande partiklar

Exempel på statistisk fysik Svagt växelverkande partiklar Exempel på statistisk fysik Svagt växelverkande partiklar I kapitlet om kinetisk gasteori behandlades en s k ideal gas där man antog att partiklarna inte växelverkade med varandra och dessutom var punktformiga.

Läs mer

Magnetfält och magnetiska krafter. Emma Björk

Magnetfält och magnetiska krafter. Emma Björk Magnetfält och magnetiska krafter Emma Björk Magnetfält och magnetiska krafter Beskriva permanentmagneters beteende Samband magnetism-laddning i rörelse Ta fram uttryck för magnetisk kraft på laddning

Läs mer

Kvantmekanik II (FK5012), 7,5 hp

Kvantmekanik II (FK5012), 7,5 hp Joakim Edsjö Fysikum, Stockholms Universitet Tel.: 8-5537876 E-post: edsjo@physto.se Lösningar till Kvantmekanik II (FK51, 7,5 hp 3 januari 9 Lösningar finns även tillgängliga på http://www.physto.se/~edsjo/teaching/kvant/index.html.

Läs mer

4. Atomers växelverkningsmodeller: varför hålls material ihop

4. Atomers växelverkningsmodeller: varför hålls material ihop 4. Atomers växelverkningsmodeller: varför hålls material ihop [AM 19-20, HH 1.6, Kittel ] Vi har sett att fasta ämnen ordnar sig i kristaller. Frågan är nu varför? Dvs. varför är det energetiskt fördelaktigt

Läs mer

Lennart Carleson. KTH och Uppsala universitet

Lennart Carleson. KTH och Uppsala universitet 46 Om +x Lennart Carleson KTH och Uppsala universitet Vi börjar med att försöka uppskatta ovanstående integral, som vi kallar I, numeriskt. Vi delar in intervallet (, ) i n lika delar med delningspunkterna

Läs mer

KEMA00. Magnus Ullner. Föreläsningsanteckningar och säkerhetskompendium kan laddas ner från

KEMA00. Magnus Ullner. Föreläsningsanteckningar och säkerhetskompendium kan laddas ner från KEMA00 Magnus Ullner Föreläsningsanteckningar och säkerhetskompendium kan laddas ner från http://www.kemi.lu.se/utbildning/grund/kema00/dold Användarnamn: Kema00 Lösenord: DeltaH0 F2 Periodiska systemet

Läs mer

Matematik D (MA1204)

Matematik D (MA1204) Matematik D (MA104) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder och

Läs mer

Tentamen: Atom och Kärnfysik (1FY801)

Tentamen: Atom och Kärnfysik (1FY801) Tentamen: Atom och Kärnfysik (1FY801) Torsdag 1 november 2012, 8.00-13.00 Kursansvarig: Magnus Paulsson (magnus.paulsson@lnu.se, 0706-942987) Kom ihåg: Ny sida för varje problem. Skriv ditt namn och födelsedatum

Läs mer

Kapitel I. Introduktion och första grundlagen. Kursmaterialet: Jens Pomoell 2011, Mikael Ehn 2013-2014

Kapitel I. Introduktion och första grundlagen. Kursmaterialet: Jens Pomoell 2011, Mikael Ehn 2013-2014 Kapitel I Introduktion och första grundlagen Kursmaterialet: Jens Pomoell 2011, Mikael Ehn 2013-2014 Introduktion Vad är Termofysik? Termofysiken handlar om att studera system bestående av ett stort antal

Läs mer

Fotoelektriska effekten

Fotoelektriska effekten Fotoelektriska effekten Bakgrund År 1887 upptäckte den tyska fysikern Heinrich Hertz att då man belyser ytan på en metallkropp med ultraviolett ljus avges elektriska laddningar från ytan. Noggrannare undersökningar

Läs mer

Kapitel IV. Partikeltalet som termodynamisk variabel & faser

Kapitel IV. Partikeltalet som termodynamisk variabel & faser Kapitel IV Partikeltalet som termodynamisk variabel & faser Kemiska potentialen Kemiska potentialen I många system kan inte partikelantalet antas vara konstant så som vi hittills antagit Ett exempel är

Läs mer

Kapitel III. Klassisk Termodynamik in action

Kapitel III. Klassisk Termodynamik in action Kapitel III Klassisk Termodynamik in action Termodynamikens andra grundlag Observation: värme flödar alltid från en varm kropp till en kall, och den motsatta processen sker aldrig spontant (kräver arbete!)

Läs mer

TERMOFYSIK Kai Nordlund, Kursens www-hemsida: knordlun/termo/

TERMOFYSIK Kai Nordlund, Kursens www-hemsida:  knordlun/termo/ TERMOFYSIK 2008 Kai Nordlund, 2008 Dessa föreläsningar baserar sig på de traditionella Latex-anteckningarna som ursprungligen skrivits av Dan Olof Riska. Den senaste uppdatering av Latex-versionen av honom

Läs mer

FK Elektromagnetism och vågor, Fysikum, Stockholms Universitet Tentamensskrivning, måndag 21 mars 2016, kl 9:00-14:00

FK Elektromagnetism och vågor, Fysikum, Stockholms Universitet Tentamensskrivning, måndag 21 mars 2016, kl 9:00-14:00 FK5019 - Elektromagnetism och vågor, Fysikum, Stockholms Universitet Tentamensskrivning, måndag 21 mars 2016, kl 9:00-14:00 Läs noggrant igenom hela tentan först Tentan består av 5 olika uppgifter med

Läs mer

Termodynamiska potentialer Hösten Assistent: Frans Graeffe

Termodynamiska potentialer Hösten Assistent: Frans Graeffe Räkneövning 3 Termodynamiska potentialer Hösten 206 Assistent: Frans Graeffe (03-) Concepts in Thermal Physics 2.6 (6 poäng) Visa att enpartielpartitionsfunktionen Z för en gas av väteatomer är approximativt

Läs mer

Föreläsning 2 Modeller av atomkärnan

Föreläsning 2 Modeller av atomkärnan Föreläsning 2 Modeller av atomkärnan Atomkärnan MP 11-1 Protonens och neutronens egenskaper Atomkärnors storlek och form MP 11-2, 4-2 Kärnmodeller 11-6 Vad gör denna ovanlig? Se även http://www.lbl.gov/abc

Läs mer

Allmän rymdfysik. Plasma Magnetosfärer Solen och solväder. Karin Ågren Rymdfysik och rymdteknik

Allmän rymdfysik. Plasma Magnetosfärer Solen och solväder. Karin Ågren Rymdfysik och rymdteknik Allmän rymdfysik Plasma Magnetosfärer Solen och solväder Rymdfysik och rymdteknik Karin Ågren 090608 Plasma Vi lever i en neutral värld, där materia är i fast, flytande eller gasform...... universum i

Läs mer

Tentamen i FUF050 Subatomär Fysik, F3

Tentamen i FUF050 Subatomär Fysik, F3 Tentamen i FUF050 Subatomär Fysik, F3 Tid: 2012-08-30 em Hjälpmedel: Physics Handbook, nuklidkarta, Beta, Chalmersgodkänd räknare Poäng: Totalt 75 poäng, för betyg 3 krävs 40 poäng, för betyg 4 krävs 60

Läs mer

Två system, bägge enskilt i termisk jämvikt med en tredje, är i jämvikt sinsemellan

Två system, bägge enskilt i termisk jämvikt med en tredje, är i jämvikt sinsemellan Termodynamikens grundlagar Nollte grundlagen Termodynamikens 0:e grundlag Två system, bägge enskilt i termisk jämvikt med en tredje, är i jämvikt sinsemellan Temperatur Temperatur är ett mått på benägenheten

Läs mer

10. Kinetisk gasteori

10. Kinetisk gasteori 10. Kinetisk gasteori Alla gaser beter sig på liknande sätt. I slutet av 1800 talet utvecklades matematiska sätt att beskriva gaserna, den så kallade kinetiska gasteorin. Den grundar sig på en modell för

Läs mer

1 Den Speciella Relativitetsteorin

1 Den Speciella Relativitetsteorin 1 Den Speciella Relativitetsteorin Den speciella relativitetsteorin är en fysikalisk teori om lades fram av Albert Einstein år 1905. Denna teori beskriver framför allt hur utfallen (dvs resultaten) från

Läs mer

Repetition F4. Lunds universitet / Naturvetenskapliga fakulteten / Kemiska institutionen / KEMA00

Repetition F4. Lunds universitet / Naturvetenskapliga fakulteten / Kemiska institutionen / KEMA00 Repetition F4 VSEPR-modellen elektronarrangemang och geometrisk form Polära (dipoler) och opolära molekyler Valensbindningsteori σ-binding och π-bindning hybridisering Molekylorbitalteori F6 Gaser Materien

Läs mer

Strålningsfält och fotoner. Våren 2013

Strålningsfält och fotoner. Våren 2013 Strålningsfält och fotoner Våren 2013 1. Fält i rymden Vi har lärt oss att beräkna elektriska fält utgående från laddningarna som orsakar dem Kan vi härleda nånting åt andra hållet? 2 1.1 Gauss lag Låt

Läs mer

15. Ferromagnetism. [HH 8, Kittel 15] Fasta tillståndets fysik, Kai Nordlund 2015 1

15. Ferromagnetism. [HH 8, Kittel 15] Fasta tillståndets fysik, Kai Nordlund 2015 1 15. Ferromagnetism [HH 8, Kittel 15] Fasta tillståndets fysik, Kai Nordlund 2015 1 15.1. Allmänt Med ferromagnetiska material menas sådana som har spontant ett makroskopiskt magnetiskt moment, även då

Läs mer

Elektriska och magnetiska fält Elektromagnetiska vågor

Elektriska och magnetiska fält Elektromagnetiska vågor 1! 2! Elektriska och magnetiska fält Elektromagnetiska vågor Tommy Andersson! 3! Ämnens elektriska egenskaper härrör! från de atomer som bygger upp ämnet.! Atomerna i sin tur är uppbyggda av! en atomkärna,

Läs mer

Termodynamik Av grekiska θηρµǫ = värme och δυναµiς = kraft

Termodynamik Av grekiska θηρµǫ = värme och δυναµiς = kraft Termodynamik Av grekiska θηρµǫ = värme och δυναµiς = kraft Termodynamik = läran om värmets natur och dess omvandling till andra energiformer (Nationalencyklopedin, band 18, Bra Böcker, Höganäs, 1995) 1

Läs mer

Sammanfattning av räkneövning 1 i Ingenjörsmetodik för ME1 och IT1. SI-enheter (MKSA)

Sammanfattning av räkneövning 1 i Ingenjörsmetodik för ME1 och IT1. SI-enheter (MKSA) Sammanfattning av räkneövning 1 i Ingenjörsmetodik för ME1 och IT1 Torsdagen den 3/9 2009 SI-enheter (MKSA) 7 grundenheter Längd: meter (m), dimensionssymbol L. Massa: kilogram (kg), dimensionssymbol M.

Läs mer

NFYA02: Svar och lösningar till tentamen 140115 Del A Till dessa uppgifter behöver endast svar anges.

NFYA02: Svar och lösningar till tentamen 140115 Del A Till dessa uppgifter behöver endast svar anges. 1 NFYA: Svar och lösningar till tentamen 14115 Del A Till dessa uppgifter behöver endast svar anges. Uppgift 1 a) Vi utnyttjar att: l Cx dx = C 3 l3 = M, och ser att C = 3M/l 3. Dimensionen blir alltså

Läs mer

Relativitetsteorins grunder, våren 2016 Räkneövning 6 Lösningar

Relativitetsteorins grunder, våren 2016 Räkneövning 6 Lösningar elativitetsteorins grunder, våren 2016 äkneövning 6 Lösningar 1. Gör en Newtonsk beräkning av den kritiska densiteten i vårt universum. Tänk dig en stor sfär som innehåller många galaxer med den sammanlagda

Läs mer

14. Diamagnetism och paramagnetism. [HH 7, Kittel 14, AM 13]

14. Diamagnetism och paramagnetism. [HH 7, Kittel 14, AM 13] 14. Diamagnetism och paramagnetism [HH 7, Kittel 14, AM 13] 14.1 Fasta tillståndets fysik, Kai Nordlund 2003 14.1. Allmänt Ett materials magnetism kan klassificeras i två huvudkategorier; material som

Läs mer

Tillämpningar av integraler: Area, skivformeln för volymberäkning, båglängd, rotationsarea, integraler och summor

Tillämpningar av integraler: Area, skivformeln för volymberäkning, båglängd, rotationsarea, integraler och summor Tillämpningar av integraler: Area, skivformeln för volymberäkning, båglängd, rotationsarea, integraler och summor Areaberäkningar En av huvudtillämpningar av integraler är areaberäkning. Nedan följer ett

Läs mer

Mendelevs periodiska system

Mendelevs periodiska system Mendelevs periodiska system Notera luckorna som betecknar element som var okända vid den tiden. Med hjälp av systement lyckades Mendelev förutsäga dessa grundämnens egenskaper. Vårt nuvarande periodiska

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3 Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3 2303 d) TB: Jaha, nu gäller det att kunna sina deriveringsregler. Polynom kommer man alltid ihåg hur de ska deriveras. f(x) = 4x 2 + 5x 3 ger derivatan f

Läs mer

Lösningar till tentamen i Kemisk termodynamik

Lösningar till tentamen i Kemisk termodynamik Lösningar till tentamen i Kemisk termodynamik 2012-05-23 1. a Molekylerna i en ideal gas påverkar ej varandra, medan vi har ungefär samma växelverkningar mellan de olika molekylerna i en ideal blandning.

Läs mer

Frielektron fermigas i en kristall. L z. L y L x. h 2 2m FRIELEKTRONMODELLEN

Frielektron fermigas i en kristall. L z. L y L x. h 2 2m FRIELEKTRONMODELLEN FRIELEKTRONMODELLEN I frielektronmodellen (FEM) behandlas valenselektronerna som en gas. Elektronerna rör sig obehindrat i kristallen och växelverkar varken med jonerna eller med varandra. Figuren nedan

Läs mer

4 rörelsemängd. en modell för gaser. Innehåll

4 rörelsemängd. en modell för gaser. Innehåll 4 rörelsemängd. en modell för gaser. Innehåll 8 Allmänna gaslagen 4: 9 Trycket i en ideal gas 4:3 10 Gaskinetisk tolkning av temperaturen 4:6 Svar till kontrolluppgift 4:7 rörelsemängd 4:1 8 Allmänna gaslagen

Läs mer

@

@ Kinetisk gasteori F = area tryck Newtons 2:a lag på impulsformen: dp/dt = F, där p=mv Impulsöverföringen till kolven när en molekyl reflekteras i kolvytan A är p=2mv x. De molekyler som når fram till ytan

Läs mer

III. Klassisk termodynamik. Termofysik, Kai Nordlund 2006 1

III. Klassisk termodynamik. Termofysik, Kai Nordlund 2006 1 III. Klassisk termodynamik Termofysik, Kai Nordlund 2006 1 III.1. Termodynamikens II grundlag i differentialform Termodynamikens II grundlag var ju Entropin i ett isolerat system kan endast öka och antar

Läs mer

Svaren på förståelsedelen skall ges på tesen som skall lämnas in.

Svaren på förståelsedelen skall ges på tesen som skall lämnas in. Dugga i Elektromagnetisk fältteori F. för F2. EEF031 2005-11-19 kl. 8.30-12.30 Tillåtna hjälpmedel: BETA, Physics Handbook, Formelsamling i Elektromagnetisk fältteori, Valfri kalkylator men inga egna anteckningar

Läs mer

1.5 Våg partikeldualism

1.5 Våg partikeldualism 1.5 Våg partikeldualism 1.5.1 Elektromagnetisk strålning Ljus uppvisar vågegenskaper. Det är bland annat möjligt att åstadkomma interferensmönster med ljus det visades av Young redan 1803. Interferens

Läs mer

Matematik E (MA1205)

Matematik E (MA1205) Matematik E (MA105) 50 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Mål och betygskriterier Ma E (MA105) Matematik Läsåret 003-004 Betygskriterier enligt Skolverket KRITERIER FÖR BETYGET GODKÄND

Läs mer

Betygskriterier Matematik E MA1205 50p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna

Betygskriterier Matematik E MA1205 50p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna Betygskriterier Matematik E MA105 50p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA105 är en nationell kurs och skolverkets kurs- och betygskriterier finns på http://www3.skolverket.se/ Detta är

Läs mer

Tentamen: Atom och Kärnfysik (1FY801)

Tentamen: Atom och Kärnfysik (1FY801) Tentamen: Atom och Kärnfysik (1FY801) Onsdag 30 november 2013, 8.00-13.00 Kursansvarig: Magnus Paulsson (magnus.paulsson@lnu.se, 0706-942987) Kom ihåg: Ny sida för varje problem. Skriv ditt namn och födelsedatum

Läs mer

där vi introducerat Nu förändras även de övriga termodynamiska potentialernas derivator:

där vi introducerat Nu förändras även de övriga termodynamiska potentialernas derivator: IV. Faser Viktiga målsättningar med detta kapitel där vi introducerat µ ( E N ) S,V (2) = systemets kemiska potential = energiökningen per tillförd partikel Kunna behandla partikeltalet som termodynamisk

Läs mer

Termodynamik och inledande statistisk fysik

Termodynamik och inledande statistisk fysik Några grundbegrepp i kursen Termodynamik och inledande statistisk fysik I. INLEDNING Termodynamiken beskriver på en makroskopisk nivå processer där värme och/eller arbete tillförs eller extraheras från

Läs mer

Föreläsning 3. Radioaktivitet, alfa-, beta-, gammasönderfall

Föreläsning 3. Radioaktivitet, alfa-, beta-, gammasönderfall Radioaktivitet, alfa-, beta-, gammasönderfall Halveringstid (MP 11-3, s. 522-525) Alfa-sönderfall (MP 11-4, s. 525-530) Beta-sönderfall (MP 11-4, s. 530-535) Gamma-sönderfall (MP 11-4, s. 535-537) Se även

Läs mer

Kapitel V. Praktiska exempel: Historien om en droppe. Baserat på material (Pisaran tarina) av Hanna Vehkamäki

Kapitel V. Praktiska exempel: Historien om en droppe. Baserat på material (Pisaran tarina) av Hanna Vehkamäki Kapitel V Praktiska exempel: Historien om en droppe Baserat på material (Pisaran tarina) av Hanna Vehkamäki Kapitel V - Praktiska exempel: Historien om en droppe Partiklar i atmosfa ren Atmosfa rens sammansa

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016 SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

och/eller låga temperaturer bildar de vätskor, nåt som inte händer för Dieterici-modellen, och virialexpansionen.

och/eller låga temperaturer bildar de vätskor, nåt som inte händer för Dieterici-modellen, och virialexpansionen. 9. Realgaser ermodynamiska potentialer (ermo 2): Krister Henriksson 9. 9.. Introduktion Realgaser uppvisar beteende som idealgasen saknar. Speciellt vid höga tryck och/eller låga temperaturer bildar de

Läs mer

Definitioner: hastighet : v = dr dt = r fart : v = v

Definitioner: hastighet : v = dr dt = r fart : v = v KOMIHÅG 8: --------------------------------- Jämvikten kan rubbas: stjälpning, glidning Flexibla system- jämvikt bara i jämviktslägen ---------------------------------- Föreläsning 9: PARTIKELKINEMATIK

Läs mer

Kapitel I. Introduktion och första grundlagen

Kapitel I. Introduktion och första grundlagen Kapitel I Introduktion och första grundlagen Introduktion Vad är Termofysik? Termofysiken handlar om att studera system bestående av ett stort antal partiklar (atomer, molekyler,...) i vilka temperaturen

Läs mer

Figure 1: Ríontgenspektrum frçan katodstrçaleríor. de elektroner som infaller mot ríontgenríorets anod íandrades till XY kv, díar XY íar

Figure 1: Ríontgenspektrum frçan katodstrçaleríor. de elektroner som infaller mot ríontgenríorets anod íandrades till XY kv, díar XY íar CHALMERS TEKNISKA H íogskola Avdelningarna fíor tillíampad, teoretisk och experimentell fysik samt MINA Bengt Lundqvist ètfybil@fy.chalmers.seè 2003-09-01 KVANTFYSIK fíor F3 och KF3 2003 Inlíamningsuppgifter

Läs mer

3. Lösning av elektrostatiska problem för dielektrika

3. Lösning av elektrostatiska problem för dielektrika [RMC] 3. Lösning av elektrostatiska problem för dielektrika Eftersom de minsta beståndsdelarna i ett dielektrikum är molekyler kan man definiera ett molekylärt dipolmoment Nu gäller p m = mol dqr (3.3)

Läs mer

Tentamen i Termodynamik och Statistisk fysik för F3(FTF140)

Tentamen i Termodynamik och Statistisk fysik för F3(FTF140) Chalmers Tekniska Högskola Institutionen för Teknisk Fysik Mats Granath Tentamen i Termodynamik och Statistisk fysik för F3(FTF40) Tid och plats: Tisdag 8/8 009, kl. 4.00-6.00 i V-huset. Examinator: Mats

Läs mer

Gemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism. Inledning. Fysikalisk bakgrund

Gemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism. Inledning. Fysikalisk bakgrund Gemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism En civilingenjör ska kunna idealisera ett givet verkligt problem, göra en adekvat fysikalisk modell och behandla modellen med matematiska

Läs mer

Kvantbrunnar Kvantiserade energier och tillstånd

Kvantbrunnar Kvantiserade energier och tillstånd Kvantbrunnar Kvantiserade energier och tillstånd Inledning Syftet med denna laboration är att undersöka kvantiseringen av energitillstånd i kvantbrunnar. Till detta används en java-applet som hittas på

Läs mer