Konsultuppdrag Epidemi 2012

Transkript

1 Konsultuppdrag Epidemi 2012 Frågeställning och förutsättningar Undersök hur följande modell för hur en epidemi sprids genom en befolkning: Kända beteckningar: N = antalet individer i populationen M k = antalet mottagliga efter k veckor S k = antalet smittsamma efter k veckor I k = antalet immuna efter k veckor d = sjukdomens varaktighet i veckor K = konstant som beskriver hur lätt sjukdomen smittar Modellens matematiska modell och ekvationer: M k + 1 = M k - k * S k * M k S k + 1 = S k + k * S k * M k - S k / d I k + 1 = I k + S k / d Undersök sedan hur M k, S k och I k utvecklas vecka för vecka tills epidemin är över. Föreslagna startvärden: N = 1000, S 0 = 1, k = 0,002 och d = 1. För att besvara frågeställningen behöver vi undersöka de matematiska modellerna och ekvationernas samband med varandra, och hur dessa integrerar. Vi behöver även undersöka hur våra värden utifrån modellerna skiftar beroende på värdet av konstanterna K och d. Svar/abstract Efter 21 veckor hade epidemin upphört att verka smittsamt med cirka 131 mottagliga och 869 immuna. Då med värdena K = 0,002 och d = 1. Med värdet 0,0025 på konstanten K minskade cykeln till 16 veckor. Detta eftersom då K, konstanten som beskriver hur lätt sjukdomen smittar, kommer antalet smittsamma öka mer drastiskt, vilket resulterar i en snabbare ökning i antalet immuna och en minskning i antalet mottagliga. Epidemi cykelns tidsperiod minskar alltså. Lösning genom kalkylblad och graf i Geogebra Grundförklaring till de matematiska modellerna: M k + 1 (Antalet mottagliga den nuvarande veckan) = M k (Antalet mottagliga den föregående veckan) k * S k * M k (Antalet smittsamma den föregående veckan) S k + 1 (Antalet smittsamma den nuvarande veckan) = S k (Antalet smittsamma den föregående veckan) + k * S k * M k (Antalet smittsamma den föregående veckan) - S k / d (Antalet immuna föregående vecka alt. (Antalet smittsamma den föregående veckan/sjukdomens varaktighet i dagar)) I k + 1 (Antalet immuna den nuvarande veckan) = I k (Antalet immuna den föregående veckan) + S k (Antalet smittsamma föregående vecka) / d (Sjukdomens varaktighet i dagar)

2 Genom att undersöka den matematiska modellens ekvationer kunde vi åskådliggöra hur förhållandena mellan antalet mottagliga (M k ), smittade (S k ) och immuna (I k ). När de smittade ökar kommer de mottagliga minska och de som tidigare var smittade, de immuna, kommer att öka. Metod 1 Kalkylblad Genom att använda kalkylbladet i Geogebra, liknande det i Excel kunde vi formulera dessa som funktioner och skapa värden. Vi kunde även då enkelt justera värdena på konstanten för hur lätt sjukdomen smittar, K, och d, sjukdomens varaktighet i dagar. Denna metod är väldigt exakt eftersom det är en det är en rent matematisk beräkning med de ekvationer och startvärden vi erhållit. Datan ovan demonstrerar hur epidemin upphörde efter 20 veckor med cirka 131 mottagliga och 869 immuna. Då med värdena K = 0,002 och d = 1.

3 Datan ovan demonstrerar hur epidemin upphörde efter 17 veckor med cirka 22 mottagliga och 978 immuna. Då med värdena K = 0,0025 och d = 1. Likt datan visar från detta och föregående exempel har antalet mottagliga och immuna drastiskt minskat och ökat, detta till följd av ökningen av konstanten K, från 0,0020 till 0,0025. Metod 2 Grafiskt Genom att ta del av informationen som nu fanns lagrad i kalkylbladet kunde vi nu skapa en lista med punkter vilka visar hur kurvorna förändas i vårt graffönster. Detta gav oss inga andra resultat än föregående metod men demonstrerade effektivt epidemins händelseförlopp och tillsammans med våra tidigare undersökningar av ekvationerna och deras mening [Se inledning av: Lösning genom kalkylblad och graf i Geogebra], åskådliggör deras funktioner. M (mottagliga) startvärde är 999. Dess slutvärde är cirka 131. Detta efter 21 veckor med värdena K = 0,002 och d = 1.

4 S (smittsamma) startvärde är 1. Dess slutvärde är 0, eftersom alla smittade blir immuna. Detta efter 21 veckor med värdena K = 0,002 och d = 1. I (immuna) startvärde är 0. Dess slutvärde är cirka 131. Detta efter 21 veckor med värdena K = 0,002 och d = 1. Denna illustration demonstrerar de samlade matematiska funktionerna och deras värden utifrån de föreslagna utgångsvärdena. Som vi ser sker det en drastisk kortvarig ökning av antalet smittsamma (S) vilket leder till en ökning i antalet immuna (I). Detta kommer att resultera i att antalet mottagliga (M) under samma period minskar i takt med att befolkningen och dess mottagliga blir smittade och immuna.

5 Om man ökar konstanten K, vilken beskriver hur lätt sjukdomen smittar, kommer som väntat antalet smittsamma att öka snabbare och antal som smittas i längden kommer även att öka. Detta i sin tur leder till en ökning av antal immuna och en minskning av antal mottagliga. Även den totala cykeln kommer att minska i total längd då de stegen mellan mottaglig, smittsam och immun kommer att ske desto snabbare. Nedan ser ni de matematiska modellerna med värdet 0,0024 respektive 0,0012 på konstanten K. Alternativ Metod 3 - Jämförelse med liknande fall Om man ser över liknande fall av hur en epidemi drabbar en befolkning kan man förvänta sig att se liknande resultat de vi såg i tidigare metoder. Det var dock svårt att se några tydliga samband i den data som smittoskyddsinstitutet presenterade på sin hemsida över influensa perioder Vad som var tydligt i dessa data var att de följde riktlinjerna för en epidemi. Dvs. att antalet drabbade stadigt ökar tills epidemin har nått sin kulmen. Om antalet drabbade sedan inte minskar, utan ligger kvar på ungefär samma nivå, har epidemin blivit en endemisk sjukdom. Diskussion/Analys Båda mina metoder demonstrerade effektivt hur en epidemi sprids i en befolkning fast på olika nivåer. Metod 1 visade matematiskt och med ett direkt numeriskt värde. Metod 2 instruerade på en pedagogiskt figurlig nivå hur ökningen och minskningen av M k, S k och I k fortföljer i samband med varandra och epidemins höga smittorisk. De matematiska funktionerna och deras samband till varandra behandlar inte epidemier, pandemier, endemier eller andra former av patogena/smittoämnen som har en märkbar inkubationstid. Med de förhållanden vi har iakttagit, antas det att smittan drabbar de mottagliga utan synbar inkubationstid. För mer utförliga och tillförlitliga resultat och matematiska modeller vilka kan anpassas till ett flertal scenarion rekommenderar vi utförligare uträkningar behandlandes denna aspekt.