Digital Signalprocessning

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Digital Signalprocessning"

Transkript

1 Digital Sigalprocessig All kvatifierig av aaloga sigaler iebär iformatiosförluster. Om dessa seda är sigifikata i sammahaget är föremål för e studtals hetsig debatt. Oavsett vad ma tycker om detta så är Digital SigalProcessig, DSP, e tekik med måga fördelar iom framför allt mobil kommuikatio, där tekike är vital är det gäller att uppå hög prestada vid samtidigt låg effektförbrukig och lite kiselyta uta kosekveser vad gäller utveckligstid och kostruktiosflöde. I figur 1 visas e typisk mixed-sigal DSP-applikatio med de kompoeter som i stort sett alltid igår. aalog iter face A/D DSP digital iter face D/A Σ modulatorer Hård DSP kära GEPARD DSP kära figur 1 De traditioellt aaloga blocke i kretse har till stor del ersatts av digitala kretsar och algoritmer som realiserar aaloga fuktioer. De ret ekoomiska fördele med detta blir uppebar är ma ser effekte av att flytta e krets med både traditioellt aaloga och digitala fuktiosblock frå e äldre och grövre processgeometri till e mer moder, vilket åskådliggörs i figur 2. Förtjäste i yta kommer ästa ebart de digitala blocke till del. 1.2 µm 0.6 µm aalog aalog digital figur 2

2 Som framgår av figur 1 så ka ma dela upp systemet i tre grudläggade fuktioer: 1) Aalog Froted, med Σ -modulatorer i talbadet för A/D och D/A-omvadlig 2) Hårda DSP-käror, med hjälp av modulgeeratorer 3) Programmerbara och parametriserbara DSP-käror (GEPARD) Neda följer e ärmare titt på uppbyggade och arbetsmetodike hos Austria Mikro Systeme för DSP-block i allmähet och de egeutvecklade DSP-kära GEPARD i syerhet. Aalog Froted Att gå i på Σ -tekologi i detalj förtjäar e ege artikel. Här öjer vi oss med att presetera de viktigaste parametrara för de fudametala blocke, modulator och codec: Σ -modulator Typ 2:a ordige, switched capacitor, differetiell CAE CZE CYE CXE CUE CUE CUE 1.2um 1.0um 0.8um 0.8um 0.6um 0.6um 0.6um fs 1MHz 1MHz 1MHz 6.3MHz 2MHz /a /a Vdd_mi 3.0V 3.0V 3.0V 4.5V 4.5V 3.0V 2.7V Vdd_max 5.5V 5.5V 5.5V 5.5V 5.5V 5.5V 3.6V fs 1) 1.8mA 1.8mA 1.8mA 2) 2.0mA 2) 2) 1) Typiskt, iklusive matig och referes 2) uder utvecklig Codec Mikrofoförstärkare +16 till +46 db Programmerbar 116dB SNR 1:a ordiges RC-filter fc=40khz Typiskt 2:a ordiges SD ADC fs=1mhz M=125; f=8khz Upplösig 14 bitar 2:a ordiges SD DAC fs=1mhz M=125; f=8khz 2:a ordiges SC-filter fc=4khz 1MHz klocka 2:a ordiges RC-filter fc=40khz Typiskt Högtalarutgåg 50mW i 50Ω +3dB Hörtelefoutgåg 10mW i 150Ω -12 till +6dB Programmerbar Hårda DSP-käror Lösige på problemet med att implemetera e specifik fuktio på miimal kiselyta uta att förlora i vare sig prestada eller utveckligstid är ofta att aväda sig av ett tekologioberoede och parametriserbart layoutgeeratorbibliotek för hårda strukturer. Det säger sig självt att ma år störst effektivitet vid repetitiva strukturer/algoritmer, och tekike kommer som bäst till si rätt vid utvecklig av digitala filter. Här ka ma implemetera/automatisera e fullt kudapassad kostruktiostekik, ågot som valige iebär (mycket) hadarbete. Eftersom steget frå specifikatio till färdig layout här tas i ett eda kliv måste ma reda på ett tidigt stadium försäkra sig om att de resulterade layoute blir effektiv också med avseede på aslutigar mella blocke.

3 Digitala filter är, såsom lijära skift-oberoede tidsdiskreta system, e klass av applikatioer där hårda och hårdkodade strukturer ger utmärkta prestada med avseede på sampligshastighet. Detta beror på att de sekvetiella processige i e programmerbar DSP ersätts av e mägd samverkade processer. De kotiuerliga hämtige och avkodige av istruktioer blir överflödig, liksom adresserige av stora datamie. Detta gör det möjligt att kotruera för hög hastighet och låg effekt. Operatioer och kommuikatio ka realiseras seriellt, vilket sparar fysisk yta. Dessutom är hårdkodade strukturer mycket regelbuda och som bäst lämpade för ytbesparade kudapassad implemeterig. Huvudsakliga ackdelar har tidigare varit kostruktiostid, kostad och det faktum att e ädrig av bara e parameter i filtret leder till e ästa helt y kostruktio. Med automatiserade modulgeeratorer har ma ite det problemet, äve om det på itet sätt är e trycka-på-kappe - lösig. Me kombiatioe av modulgeeratorer och erfare persoal erbjuder filter med höga prestada på kort tid. När ma utvärderar lämpliga metoder för implemeterig av digitala filter så är det ödvädigt att ha de begräsigar som sätts av tekologi klara för sig. Modera CAD-verktyg gör kostruktio av digitala filter och relaterade algoritmer gaska bekvämt. Frå e grudstruktur så geererar de e strukturell beskrivig i ett passade högivåspråk (HDL). Logisk sytes och automatiska routigverktyg för atige gridmatriser eller stadardcellkretsar tillsammas med Automatisk TestmösterGeererig (ATPG) ger alla ödvädiga data för fabrikatio. För de mest avacerade processera med 4 eller fler metallager så ger detta e ärmast optimal lösig ur tekisk sypukt. Me telekommuikatiosprodukter är umera extremt priskäsliga, och bör företrädesvis produceras i lågkostadsprocesser, främst CMOS med 2 metallager. Dessutom krävs ofta itegratio av aaloga block, vilket kräver e mixed-sigal process. Dessa har i regel lite grövre geometrier ä de mest avacerade processera. Modulgeeratorera hos Austria Mikro Systeme har optimerats med avseede på detta. Ytbesparigar på över 50% kiselarea jämfört med kovetioella kostruktioer med stadardceller är då sarare orm ä udatag. Desitete ka uppgå till över trasistorer/mm 2 i e 0.8µm dubbelmetall CMOS process. Dessutom kortas utveckligstide avsevärt jämfört med klassisk kudapassad kostruktio. Några av de filtertyper som är aktuella tas upp eda, med börja med medelvärdesbildade filter (Averagig Filters). Dessa ger lågpassfiltrerig och decimerig. De aväds som det första decimerigssteget i översamplade sigma-delta AD-omvadlare för att reducera sampligsfrekvese och ta bort det högfrekveta kvatifierigsbruset. Ett exempel, passade för itegratio, visas i figur 3. 1 i 1 1 z k H( z) = z = 1 = f ( z) g( z ) k k 1 i= 0 k 1 z k 1 1-z -1 1-z -k k 1 1-z -1 k 1-z z H( z) = sic = 1 z k 1 3 z -1 z -1 z -1 M z -1 z -1 z -1 figur 3 k aritmetiska operatioer ersätts med bara två (additio och subtraktio). Geom att säka sampligsfrekvese före differetiator med e faktor k miskas hårdvaras komplexitet frå z -k ed till z -1. Ett första ordiges filter kommer ite att ge tillräcklig dämpig av högfrekvet kvatifierigsbrus är det aväds i e sigma-delta modulator. Detta är ekelt att åtgärda geom kaskadkopplig, och på så sätt skapa ett högre ordiges decimerigsfilter, i.e. ett tredje ordiges filter åstadkoms geom att aväda tre itegratorer före, och tre differetiatorer efter reducerige av

4 sampligshastighete. Implemetatioe av itegrator är valige bitparallell för att möjliggöra hög sampligsfrekves. Beroede på decimerige och de resulterade ordlägde så ka differetiatorera implemeteras med bitseriell logik. Bitseriella strukturer beskrivs i litterature som goda kadidater till kompakt layout och aväds till ytterligare filtrerig i översamplade dataomvadlare. Effektförbrukige i e bitseriell struktur är valige högre ä i dess bitparallella motsvarighet, eftersom e lika stor mägd mieselemet måste klockas med e faktor gåger sampligsfrekvese, där represeterar ordlägde. Med take på de reducerade (decimerade) sampligsfrekvese så är effektförbrukige i det digitala filtret ädå i storleksordige e magitud lägre ä för de aaloga modulators kretsar. E aa filtertyp är FIR och IIR. Dessa aväds ofta efter det första decimerigssteget och realiseras då som bitseriella strukturer. Så läge som det ite fis ågra allvarligare krav på grupplöptide så är kaskadkopplade biquads ett effektivt sätt att realisera digitala filter. Överförigsfuktioe hos ett IIR-filter realiserat som kaskadkopplat biquad ka skrivas som H ( z) = 0 i= 0 1 bi + bi z + bi 2z 1 1 a z a z i1 i 2 Att realisera dea struktur kräver edast multiplikatorer, adderare och fördröjigselemet. Multiplikatioe kommer alltid efter fördröjigselemetet, vilket är e begräsig som kommer frå realiserige av multiplikator. Liksom vid parallell multiplikatio så summeras delprodukter ihop efter att ha multiplicerats med motsvarade bit i de adra terme. Additio görs med bitseriella adderare. För ett filter med fasta koeffecieter resulterar multiplikatio med oll i oll, och ige adderare är ödvädig. Därför resulterar edast logiska ettor i hårdvara och tillägg av kiselyta. Koeffecietera bör optimeras till så få logiska ettor som möjligt. Det fis ett flertal metoder att åstadkomma detta. Samma bitseriella muliplikator aväds för FIR-filter. Geom att aväda de traspoerade forme krävs edast e multiplikator. Digitala filter med tabeller. Geom att aväda distribuerad aritmetik och orda de bitseriella operatioera eligt ekvatioe y = 1 m 1 x b ki k 2 i= 0 k= 0 i där represeterar dataordlägde och m atalet taps ka ma komma fram till e multiplikatorfri struktur för ickerekursiva filter. Terme m 1 k = 0 x ki b k är fördefiierad för alla möjliga kombiatioer av 2 m och realiserad med e tabell, valige ett ROM. Dessutom är reste av strukture, som visas i figur 4, mycket regelbude, och passar därför mycket väl för implemetatio med modulgeeratorer. Eftersom storleke på ROMet växer expoeetiellt med

5 atalet taps så är strukture lämplig bara är dessa ite är alltför måga. Däremot växer ROMet lijärt med atalet utgågar, så strukture ka också avädas för DCT och DFT applikatioer. seriell igåg x m bitars registerfil x 0 x 1 x 2 x -1 x ROM 2 x m m Σ m p/s seriell utgåg figur 4 Likade tabeller med lagrade delresultat frå multiplikatio/additio har aväts för blad aat GMSK eller Nyquist FIR filter i basbadsprocessorer för mobil telekommuikatio. Fysisk implemetatio eligt giva riktlijer kräver som sagt att regelbuda och repetitiva strukturer utvecklas. Ekla operatorer och huvudsaklige lokala aslutigar ger e solid grud för desamma. Måle är att uppå lite kiselyta och hög klockfrekves, vilket låter sig göras med klassisk kudapassad kostruktio. Lyckligtvis krävs edast ett fåtal grudläggade elemet (adderare, subtraherare, multiplikatorer och fördröjigselemet) för att realisera ett digitalt filter. Bitseriella adderare och subtraherare skiljer sig mycket litet frå varadra. Multiplikator består av skiftregister samt adderare eller subtraherare. Slutlige, fördröjigselemetet är e skiftregisterkedja. På Austria Mikro Systeme ersätter automatiska layoutgeeratorer för fördefiierade filterstrukturer de tidsödade uppgifte att åstadkomma e klassisk kudapassad masklayout. Geeratorera arbetar eligt e tvåstegspricip. Först aväds ett tekologioberoede och parametriserbart löv (leaf)- cellbibliotek för de primitiva fuktioera. I det adra steget exekveras automatiska procedurer för att placera och asluta dessa celler eligt e kudspecifik layout svarade mot specifikatioe. Allt detta görs i GDT (Geerator Developmet Tool) frå Metor Graphics. Leaf-celler för layout av hög desitet skiljer sig frå valiga stadardceller. Normala stadardceller kostrueras med take på de skilda layoutverktyg som skall avädas och måste också vara gaska robusta mot skillader i avädadet, ågot som återspeglar sig i både krets- och layoutkostruktioe för cellera. Leaf-celler skall däremot avädas i e klart defiierad miljö och ka optimeras både frå kotruktios- och layoutsypukt. Lokala aslutigar kräver ite buffrig och ka i vissa fall till och med klaras av geom att lägga ihop två ärliggade celler. Mista trasistorstorlek ka avädas och äve dyamisk logik är täkbar, förutsatt att e tvåfas icke överlappade klocka fis tillgäglig. Skillade mella e stadardcellayout och e layout gjord med hjälp av e modulgeerator åskådliggörs i figur 5. E leaf-cell (bitseriell adderare) visas i figur 6.

6 Stadardceller figur 5 Leaf-cell Kudapassad layout figur 6 När ma arbetar med olika fabrikatiostekologier så är det viktigt att ha tekologioberoede leafceller. Eftersom lijärskalig och apassig av layoutobjekt ite resulterar i ett effektivt utyttjade av kiselyta, så valdes parametriserbar layout på Austria Mikro Systeme. Alla trasistorer, aslutigar, kotakter och viahål placeras och asluts relativt de adra, och deras storlek ages med parametrar. Dessa ersätts med verkliga värde frå tekologifile är geerator bygger upp layoute. Sådaa bibliotek har byggts upp för alla dubbel-metall CMOS-tekologier på Austria Mikro Systeme. Fabtikatiosprocesse är edast e parameter. Adra parametrar är cellam(typ), bredd på matigsbusses aslutig, PMOS/NMOS trasistor-storlek och strukturell iformatio som till exempel existese av reset, iverterade igåg eller utgågsbuffer. Mer komplexa modulgeeratorer placerar och asluter leaf-cellera med häsy till det specificerade filtrets struktur. Idata till dessa geeratorer är till exempel ordlägde och filterkoeffecietera. Efter att e ätlista geererats med utgågspukt frå dessa parametrar placeras alla fördröjigselemet och mutiplikatorer i ett atal rader, beroede på dataordlägde. Adderare och subtraherare följer i separata rader, eftersom dessa celler har aa cellhöjd. Övriga elemet, där sådaa krävs, radas upp på samma sätt. Alla lokala aslutigar, huvudsaklige mella skiftregisterceller, me också adderare, görs geom hopläggig av celler ( abutmet ). Matigsbussar är e del av cellera, och bara ett fåtal globala sigaler som klockor, ladda, set/reset-ledigar utgör de ledigsgator som äu fis över och uder cellera. Ett exempel på partitioerig visas i figur 7.

7 Fördröjig Fördröjig Multiplikator kotroll Adderare / Subtraherare figur 7 Ekla biquads, FIR-filter, me äve registerfiler för filter med tabeller geereras automatiskt. Aslutigar mella dessa moduler (kaskadkopplig) ka göras såväl automatiskt som mauellt. Bitseriell kommuikatio håller aslutigara ekla och mauell layout ka tillgripas där extra besparigar av layoutarea är av öde. Geererige av de ödvädiga kotrollsigalera görs i regel med kovetioella stadardceller, då dessa strukturer sakar de regelbudehet som är e förutsättig för effektiv automatiserig. Kostruktiosflödet illustreras i figur 8. Valigtvis så är ett grudfilter tillgägligt tillsammas med restriktioer frå operatio och tekologi. Efter att ha valt e lämplig filterarkitektur så approximeras frekvessvaret med MATLAB-fuktioer. Koeffecietera kvatifieras och optimeras med hjälp av ett C-program. Simulerig med häsy till kvatifierigseffekter efter multiplikatio ger operatiosdata som kvatifierigsbrus (QSNR) och strukturella data som atalet overflow -bitar. Fortfarade i MATLAB så skapas parameterfile för layoutgeeratorera. Parametrar för beteedemässig simulerig tillhadahålls också. Alla leaf-celler är i regel uppbyggda, placerade och asluta automatiskt iom ett par miuter. Eftersom iget schema på trasistorivå existerar så åstadkommer ma layoutverifikatioe geom switchivå-simulerig av e ätlista som extraheras frå layoute. Simulerigsresultate jämförs med möster frå MATLAB. De måste vara idetiska med simulerigsresultat frå logisk högivåsimulerig med beteedebeskrivade modeller. Dessa modeller aväds för itegratio av filtret i e ASIC.

8 Filterspecifikatio Matlab-script Överförigsfuktio Strukturapproximatio Koefficietoptimimerig C-Program Parameter-fil HDL-modell Layout-geerator Simulerig Filter-layout Lsim-ätlista Simulerig figur 8 Kostruktörer uta detaljerad kuskap om krets- och layoutkostruktio ka med det här flödet producera moduler med hög desitet. Tack vare de korta ledtidera så möjliggörs sabb kostadsutvärderig av flera olika alterativ. Applikatiosexempel. De ova beskriva kostruktiosmetode har aväts för implemetatio av filter med höga prestada och låg effektförbrukig. Filtre har aväts i översamplade sigma-delta AD- och DA-omvadlare. Applikatioera har utgjorts av kretsar för telekommuikatio (codec) me också idustriella applikatioer (effektmätarkretsar) och kosumetprodukter (audiokretsar). Tillämpige av modulgeeratorer är aturligtvis ite begräsad till digital filtrerig. I ett seare projekt har de till exempel också aväts för att bygga upp e DECT krypterigs/dekreypterigsprocessor. Ett exempel på resulterade layout visas i figur 9 (6-kaal multirate decimator).

9 figur 9 GEPARD DSP-käror Det är lågt i frå alltid som e lösig ka realiseras med algoritmer som passar hårda DSP-käror eligt ova. Dessutom har de e ackdel i att de är så hårt optimerade att flexibilitete är i stort sett obefitlig. Detta, samt möjlighete att sabbt och relativt billigt kua göra flera iteratioer äve på de färdiga produkte, är de främsta aledigara till att aväda e programmerbar DSP-kära. DSP-kära GEPARD frå Austria Mikro Systeme är dessutom parametriserbar i ästa alla aspekter för att kua optimera de så mycket som möjligt uta att för de skull förlora i flexibilitet. Detta gör de lämplig som ibyggd kära i ett brett spektrum av applikatioer för telekommuikatios-, kosumet- och idustrimarkade. Komplexitete blir heller ite större ä vad som krävs för applikatioe, e svaghet hos geerella DSP-kretsar. E översikt ges i tabelle eda. Parameter Område Default Kommetar Dataordlägd bitar,i steg om 8 16 Dataregister och bussar Dataadresslägd bitar 16 <= Dataordlägd Programadresslägd bitar 16 <= Dataordlägd Multiplikatorbredd bitar Dataordlägd Utgåg=2 x Dataordlägd + guardbitar Multiplikator guardbitar <= Dataordlägd-2 Atal idexregister 8, 16 8 Atal ackumulatorer C/D register 0, 1 0 Tillåt C och D-registre som ALUoperad, hoppvillkor och loopräkare Modifier 0, 1 0 Idexregistre är edast ädrigsregister Loop hårdvara 0, 1 0 Nivåer av hårdvaruloopar Parametrar för adresserig 0, N 0 Bitreverserad, moduloadresserig, etc Arkitekture hos dataväge i GEPARD visas i figur 10. GEPARDs DSP-kära iehåller e parallell multiplikator med multiply-accumulate (MAC). Dea har utökad precisio för att hatera de ökade ordlägd som är följde av måga DSP-algoritmer. Vidare tillhadahålls 2 till 4 ackumulatorer för effektiv beräkig med komplexa tal, samt komplett aritmetiskt/logiskt fuktiosstöd för att stödja implemetatioe av högivåelemet som for-sligor och if-the alterativ. E mjukvarustack är implemeterad och aväds som stöd för iterrupt. De ka också avädas för fuktios- och procedurarop.

10 bussiterface bussiterface c-register d-register mux multiplikator mac p-register skift 2+g summa & carry mux mux op1 op2 alu ackumulator-fil bussiterface figur 10 Stor möda har lagts ed på att optimera GEPARDs RISC-kära för sabbhet. Så exekveras exempelvis istruktioera: LDX (i1)*, C; LDY (i2)*, D; MAC C, D; SUB A1, A2, A3; uder e och samma klockcykel med hjälp av VLIW-tekik (Very Log Istructio Word). För att detta skall vara möjligt krävs parallellitet i operatioera, så att flera av dem utförs samtidigt, oberoede av varadra. Pris/prestada beror förstås på vilka av de möjliga optioera som valts, och hur de implemeterats. ASIC-lösigar med stadardceller eller gridmatrismakro, kudapassade implemetatioer, layouter med hög desitet geererade med modulgeeratorer liksom varje kombiatio av dessa är möjlig. GEPARD har potetial att å e areal på edast 1 mm 2 för baskofiguratioe med 16 bitars ordlägd och realiserig i e 0.6µm 2-metall CMOS-process och avädade av kudapassad kostruktiostekik. I tillägg till kära kommer att krävas program-rom och data-ram, vilket ger e total modul-storlek på rut 2 mm 2 och uppåt. I e 0.6µm tekologi och V dd =3.3V så vätas de här processor att arbeta på 50MHz. Vid de klockhastighete så är det möjligt att exekvera e 1k komplex FFT på midre ä 1 ms. Exempel och bechmark ges i figur 11.

11 Butterfly, ire sliga ldx (i2)+1,null; ldy (i6),a2; sub NULL,a2,a2; ldx (i4),d; ldy (i4),c; mul c,a2; ldx (i6),c; ldy (i4),a2; mac c,d; ldx (i0),a3; mul c,a2; mv ph1,a1; ldy (i6),c; mac c,d; sub a3,a1,a0; mv ph1,a2; add a3,a1,a1; stx a0,(i4); ldy (i0),a3; sub a3,a2,a0; stx a1,(i0); add a3,a2,a2; sty a0,(i4)*; j i2,butterfly; sty a2,(i0)*; Jämförelse: 256 pukters komplex FFT, stadard radix 2 algoritm Processor cycles GEPARD DSP_ DSP_ DSP_ DSP_ Källa: EDN, Mars 1996 figur 11 GEPARD DSP-käror ka fås både som mjuka och hårda käror. För kodutvecklig fis e cykelbaserad symbolassembler samt e kodsimulator. Båda är tillgägliga för såväl DOS/Widows som UNIX och ka kofigureras i samma utsträckig som hårdvara. För att göra programmerige mer effektiv fis dessutom ett mjukvarubibliotek med valiga fuktioer. Ett utveckligskort med e utvärderigsversio av GEPARD (alla sigaler utbodade till piar) fis för aslutig till PC. Det är också lämpligt för kodutvecklig. I figur 12 ges ett exempel på e ASIC som utvecklats med kompoeter frå alla de kompoeter som har beskrivits i de här artikel, e krets för effektmätig. sigma delta decimerig program ROM sigma delta decimerig GEPARD X - RAM iterface Y - RAM Aaloga block hårda dsp-block gepard dsp-kära seriell io figur 12 it, reset, klocka Avslutigsvis, e kort beskrivig av de större fuktiosblock som realiserats som makro i tidigare projekt. G.726 ADPCM-kära. E dedicerad 16-bitars sigalprocessor som utför kodig och avkodig av tal i elighet med G.726. COMPLEX_MAC. E aritmetiskt ehet som utför multiply & accumulate på komplexa tal.

12 DFIL_01. Ett sex-kaals digitalt filter som utför decimerig, ekvaliserig och högpassfiltrerig för 6 sigma-delta modulatorer (se figur 9). PMUL_01. E 16x16 bits multiplikator med 32 bitars resultat för tvåkomplemetstal. USART. E uiversell sykro-asykro sädare-mottagare. Jag hoppas att jag i och med detta har givit e iblick i vad som ka göras med digital sigalbehadlig. För de som öskar datablad på block som preseterats här så fis de att ladda ed frå iteret på Lars Sith Austria Mikro Systeme Iteratioal AG

Digitalteknik F6. Några sammansatta digitala komponenter och lite designmetodik. Digitalteknik F6 bild 1

Digitalteknik F6. Några sammansatta digitala komponenter och lite designmetodik. Digitalteknik F6 bild 1 Digitaltekik F6 Några sammasatta digitala kompoeter och lite desigmetodik Digitaltekik F6 bild Sammasatta kompoeter Problem: E större kostruktio är praktiskt omöjlig att mauellt realisera med bara gridar.

Läs mer

Föreläsning 10: Kombinatorik

Föreläsning 10: Kombinatorik DD2458, Problemlösig och programmerig uder press Föreläsig 10: Kombiatorik Datum: 2009-11-18 Skribeter: Cecilia Roes, A-Soe Lidblom, Ollata Cuba Gylleste Föreläsare: Fredrik Niemelä 1 Delmägder E delmägd

Läs mer

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING VI. Föreläsning VI. Mikael P. Sundqvist

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING VI. Föreläsning VI. Mikael P. Sundqvist Föreläsig VI Mikael P. Sudqvist Aritmetisk summa, exempel Exempel I ett sällskap på 100 persoer skakar alla persoer had med varadra (precis e gåg). Hur måga hadskakigar sker? Defiitio I e aritmetisk summa

Läs mer

Hambley avsnitt 12.7 (även 7.3 för den som vill läsa lite mer om grindar)

Hambley avsnitt 12.7 (även 7.3 för den som vill läsa lite mer om grindar) 1 Föreläsig 6, Ht 2 Hambley avsitt 12.7 (äve 7.3 för de som vill läsa lite mer om gridar) Biära tal Vi aväder ormalt det decimala talsystemet, vilket har base 10. Talet 2083 rereseterar då 2 10 3 0 10

Läs mer

Systemdesign fortsättningskurs

Systemdesign fortsättningskurs Systemdesig fortsättigskurs Orgaisatio Föreläsare Potus Boström Assistet? Tider mådagar och tisdagar kl. 8-10 Börjar 3.9 och slutar 16.10 Rum B3040 Orgaisatio Iga föreläsigar 24.9, 25.9, 1.10 och 2.10

Läs mer

Design mönster. n n n n n n. Command Active object Template method Strategy Facade Mediator

Design mönster. n n n n n n. Command Active object Template method Strategy Facade Mediator Desig möster Desig möster Commad Active object Template method Strategy Facade Mediator Commad Ett av de eklaste desig möstre Me också mycket avädbart Ett grässitt med e metod Comm ad do()

Läs mer

Datorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys

Datorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys Luds tekiska högskola Matematikcetrum Matematisk statistik STATISTISKA METODER FÖR SÄKERHETSANALYS FMS065, HT-15 Datorövig 2 Fördeligar iom säkerhetsaalys I dea datorövig ska vi studera ågra grudläggade

Läs mer

Digital signalbehandling Fönsterfunktioner

Digital signalbehandling Fönsterfunktioner Istitutioe för data- och elektrotekik Digital sigalbehadlig Fösterfuktioer 2-2-7 Fösterfuktioer aväds för att apassa mätserie vid frekvesaalys via DFT och FFT samt vid dimesioerig av FIR-filter via ivers

Läs mer

Datastrukturer och algoritmer

Datastrukturer och algoritmer Iehåll Föreläsig 6 Asymtotisk aalys usammafattig experimetell aalys uasymtotisk aalys Lite matte Aalysera pseudokode O-otatio ostrikt o Okulärbesiktig 2 Mäta tidsåtgåge uhur ska vi mäta tidsåtgåge? Experimetell

Läs mer

Linjär Algebra (lp 1, 2016) Lösningar till skrivuppgiften Julia Brandes

Linjär Algebra (lp 1, 2016) Lösningar till skrivuppgiften Julia Brandes Lijär Algebra (lp 1, 2016) Lösigar till skrivuppgifte Julia Brades Uppgift 1. Betecka mägde av alla matriser med M(). Vi har e elemetvist defiierad additio av två matriser A, B M(). De är defiierad geom

Läs mer

Borel-Cantellis sats och stora talens lag

Borel-Cantellis sats och stora talens lag Borel-Catellis sats och stora tales lag Guar Eglud Matematisk statistik KTH Vt 2005 Iledig Borel-Catellis sats är e itressat och avädbar sats framför allt för att bevisa stora tales lag i stark form. Vi

Läs mer

Genomsnittligt sökdjup i binära sökträd

Genomsnittligt sökdjup i binära sökträd Iformatiostekologi Tom Smedsaas 10 augusti 016 Geomsittligt sökdjup i biära sökträd Detta papper visar att biära sökträd som byggs upp av slumpmässiga data är bra. Beteckigar och defiitioer Defiitio De

Läs mer

Föreläsning 3. 732G04: Surveymetodik

Föreläsning 3. 732G04: Surveymetodik Föreläsig 3 732G04: Surveymetodik Dages föreläsig Obudet slumpmässigt urval (OSU) Populatiosparametrar och stickprovsstatistikor Vätevärdesriktighet Ädliga och oädliga populatioer Medelvärde, adel Kofidesitervall

Läs mer

7 Sjunde lektionen. 7.1 Digitala filter

7 Sjunde lektionen. 7.1 Digitala filter 7 Sjude lektioe 7. Digitala filter 7.. Flera svar Ett lijärt tidsivariat system ka karakteriseras med ett flertal svar, t.ex. impuls-, steg- och amplitudsvare. LTI-system ka ju äve i de flesta fall beskrivas

Läs mer

RESTARITMETIKER. Avsnitt 4. När man adderar eller multiplicerar två tal som t ex

RESTARITMETIKER. Avsnitt 4. När man adderar eller multiplicerar två tal som t ex Avsitt 4 RESTARITMETIKER När ma adderar eller multiplicerar två tal som t ex 128 + 39..7 128 43..4 så bestämmer ma först de sista siffra. De operatioer som leder till resultatet kallas additio och multiplikatio

Läs mer

Induktion LCB Rekursion och induktion; enkla fall. Ersätter Grimaldi 4.1

Induktion LCB Rekursion och induktion; enkla fall. Ersätter Grimaldi 4.1 duktio LCB 2000 Ersätter Grimaldi 4. Rekursio och iduktio; ekla fall E talföljd a a 0 a a 2 ka aturligtvis defiieras geom att ma ager e explicit formel för uträkig av dess elemet, som till exempel () a

Läs mer

Digital signalbehandling Alternativa sätt att se på faltning

Digital signalbehandling Alternativa sätt att se på faltning Istitutioe för data- oc elektrotekik 2-2- Digital sigalbeadlig Alterativa sätt att se på faltig Faltig ka uppfattas som ett kostigt begrepp me adlar i grude ite om aat ä att utgåede frå e isigal x [],

Läs mer

Analys av algoritmer. Beräkningsbar/hanterbar. Stora Ordo. O(definition) Datastrukturer och algoritmer. Varför analysera algoritmer?

Analys av algoritmer. Beräkningsbar/hanterbar. Stora Ordo. O(definition) Datastrukturer och algoritmer. Varför analysera algoritmer? Datastrukturer och algoritmer Föreläsig 2 Aalys av Algoritmer Aalys av algoritmer Vad ka aalyseras? - Exekverigstid - Miesåtgåg - Implemetatioskomplexitet - Förstålighet - Korrekthet - - 29 30 Varför aalysera

Läs mer

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik Sammafattig, del I G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 2 oktober 2013 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0409 Grudkurs i diskret matematiksammafattig, del 2Ioktober

Läs mer

Så här kommer byggherren och entreprenören överens om energianvändningen

Så här kommer byggherren och entreprenören överens om energianvändningen Så här kommer byggherre och etrepreöre överes om eergiavädige Så här kommer byggherre och etrepreöre överes om eergiavädige Sveby står för Stadardisera och verifiera eergiprestada i byggader och är ett

Läs mer

Egna funktioner. Vad är sin? sin är namnet på en av många inbyggda funktioner i Ada (och den återfinns i paketet Ada.Numerics.Elementary_Functions)

Egna funktioner. Vad är sin? sin är namnet på en av många inbyggda funktioner i Ada (och den återfinns i paketet Ada.Numerics.Elementary_Functions) - 1 - Vad är si? si är amet på e av måga ibyggda fuktioer i Ada (och de återfis i paketet Ada.Numerics.Elemetary_Fuctios) si är deklarerad att ta emot e parameter (eller ett argumet) av typ Float (mätt

Läs mer

Vad är det okända som efterfrågas? Vilka data är givna? Vilka är villkoren?

Vad är det okända som efterfrågas? Vilka data är givna? Vilka är villkoren? Problemlösig. G. Polya ger i si utmärkta lilla bok How to solve it (Priceto Uiversity press, 946) ett schema att följa vid problemlösig. I de flod av böcker om problemlösig som har följt på Polyas bok

Läs mer

101. och sista termen 1

101. och sista termen 1 Lektio, Evariabelaalys de ovember 999 5.. Uttryck summa j uta summasymbole. j + Termera är idexerade frå j = till j = och varje term är blir j j+. Summa Skriver vi upp summa uta summasymbole blir de +

Läs mer

Duo HOME Duo OFFICE. Programmerings manual SE 65.044.20-1

Duo HOME Duo OFFICE. Programmerings manual SE 65.044.20-1 Duo HOME Duo OFFICE Programmerigs maual SE 65.044.20-1 INNEHÅLL Tekiska data Sida 2 Motage Sida 3-5 Programmerig Sida 6-11 Admiistrerig Sida 12-13 Hadhavade Sida 14-16 TEKNISKA DATA TEKNISK SPECIFIKATION

Läs mer

Innanför skalet på centralenheten: Mikroprogrammering

Innanför skalet på centralenheten: Mikroprogrammering Iaför skalet på cetralehete: Mikroprogrammerig 1997 Stefa Gustavso, ITN-LiTH Lätt uppdaterat 2004-09-06-1 - 1. Iledig Det fis måga olika abstraktiosivåer ma ka välja att lägga sig på är ma skall förklara

Läs mer

Statistisk analys. Vilka slutsatser kan dras om populationen med resultatet i stickprovet som grund? Hur säkra uttalande kan göras om resultatet?

Statistisk analys. Vilka slutsatser kan dras om populationen med resultatet i stickprovet som grund? Hur säkra uttalande kan göras om resultatet? Statistisk aalys Vilka slutsatser ka dras om populatioe med resultatet i stickprovet som grud? Hur säkra uttalade ka göras om resultatet? Mats Guarsso Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 83 Exempel

Läs mer

Kompletterande kurslitteratur om serier

Kompletterande kurslitteratur om serier KTH Matematik Has Thuberg 5B47 Evariabelaalys Kompletterade kurslitteratur om serier I Persso & Böiers.5.4 itroduceras serier, och serier diskuteras också i kapitel 7.9. Ia du läser vidare här skall du

Läs mer

Databaser - Design och programmering. Programutveckling. Programdesign, databasdesign. Kravspecifikation. ER-modellen. Begrepps-modellering

Databaser - Design och programmering. Programutveckling. Programdesign, databasdesign. Kravspecifikation. ER-modellen. Begrepps-modellering Databaser desig och programmerig Desig processe ER-modellerig Programutvecklig Förstudie, behovsaalys Programdesig, databasdesig Implemetatio Programdesig, databasdesig Databasdesig Koceptuell desig Koceptuell

Läs mer

Visst kan man faktorisera x 4 + 1

Visst kan man faktorisera x 4 + 1 Visst ka ma faktorisera + 1 Per-Eskil Persso Faktoriserig av polyomuttryck har alltid utgjort e svår del av algebra. Reda i slutet av grudskola möter elever i regel dea omvädig till multiplikatio med hjälp

Läs mer

Bilaga 1 Formelsamling

Bilaga 1 Formelsamling 1 2 Bilaga 1 Formelsamlig Grudbegre, resultatlaerig och roduktkalkylerig Resultat Itäkt - Kostad Lösamhet Resultat Resursisats TTB Täckigsgrad (TG) Totala itäkter TB Säritäkt Divisioskalkyl är de eklaste

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1 Lösigar och kommetarer till uppgifter i. 407 d) 408 d) 40 a) 3 /5 5) 5 3 0 ) 0) 3 5 5 4 0 6 5 x 5 x) 5 x + 5 x 5 x 5 x 5 x + 5 x 40 Om det u är eklare så här a x a 3x + a x) a 4x + 43 a) 43 45 5 3 5 )

Läs mer

REGULJÄRA SPRÅK (8p + 6p) 1. DFA och reguljära uttryck (6 p) Problem. För följande NFA över alfabetet {0,1}:

REGULJÄRA SPRÅK (8p + 6p) 1. DFA och reguljära uttryck (6 p) Problem. För följande NFA över alfabetet {0,1}: CD58 FOMEA SPÅK, AUTOMATE, OCH BEÄKNINGSTEOI, 5 p JUNI 25 ÖSNINGA EGUJÄA SPÅK (8p + 6p). DFA och reguljära uttryck (6 p) Problem. För följade NFA över alfabetet {,}:, a) kovertera ovaståede till e miimal

Läs mer

H1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic POLYNOM, POLYNOMDIVISION, ALGEBRAISKA EKVATIONER, PARTIALBRÅKSUPPDELNING. vara ett polynom där a

H1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic POLYNOM, POLYNOMDIVISION, ALGEBRAISKA EKVATIONER, PARTIALBRÅKSUPPDELNING. vara ett polynom där a POLYNOM, POLYNOMDIVISION, ALGEBRAISKA EKVATIONER, PARTIALBRÅKSUPPDELNING Defiitio Polyom är ett uttryck av följade typ P( ) a a a, där är ett icke-egativt heltal (Kortare 0 P k ( ) a a 0 k ) k Defiitio

Läs mer

Leica Lino. Noggranna, självavvägande punkt- och linjelasers

Leica Lino. Noggranna, självavvägande punkt- och linjelasers Leica Lio Noggraa, självavvägade pukt- och lijelasers Etablera, starta, klart! Med Leica Lio är alltig lodat och perfekt apassat Leica Lios projekterar lijer eller pukter med millimeterprecisio och låter

Läs mer

Datorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys

Datorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys Luds tekiska högskola Matematikcetrum Matematisk statistik STATISTISKA METODER FÖR SÄKERHETSANALYS FMS065 Datorövig 2 Fördeligar iom säkerhetsaalys I dea datorövig ska vi studera ågra grudläggade frå saolikhetsteori:

Läs mer

n Marknadens minsta och mest robusta FRAinstrument n Marknadens högsta prestanda och användande n Uppfyller alla internationella standarder för

n Marknadens minsta och mest robusta FRAinstrument n Marknadens högsta prestanda och användande n Uppfyller alla internationella standarder för FRAX 101 SFRA Aalysator Markades mista och mest robusta FRAistrumet Markades högsta prestada och avädade av stadardiserad sigalkabel-jordaslutig ger högsta möjliga repeterbarhet Uppfyller alla iteratioella

Läs mer

Tentamen 19 mars, 8:00 12:00, Q22, Q26

Tentamen 19 mars, 8:00 12:00, Q22, Q26 Avdelige för elektriska eergisystem EG225 DRIFT OCH PLANERING AV ELPRODUKTION Vårtermie 25 Tetame 9 mars, 8: 2:, Q22, Q26 Istruktioer Skriv alla svar på det bifogade svarsbladet. Det är valfritt att också

Läs mer

Befolkning per födelseland Reviderad metod vid framskrivningar. Version: 2

Befolkning per födelseland Reviderad metod vid framskrivningar. Version: 2 Befolkig per födelselad Reviderad metod vid framskrivigar Versio: 2 Tillväxtverket stärker Sverige geom att stärka företages kokurreskraft Vi skapar bättre förutsättigar för företagade och bidrar till

Läs mer

Databaser - Design och programmering. Databasdesign. Kravspecifikation. Begrepps-modellering. Design processen. ER-modellering

Databaser - Design och programmering. Databasdesign. Kravspecifikation. Begrepps-modellering. Design processen. ER-modellering Databaser desig och programmerig Desig processe Databasdesig Förstudie, behovsaalys ER-modellerig Kravspecifikatio För att formulera e kravspecifikatio: Idetifiera avädare Studera existerade system Vad

Läs mer

Uppgifter 3: Talföljder och induktionsbevis

Uppgifter 3: Talföljder och induktionsbevis Gruder i matematik och logik (017) Uppgifter 3: Talföljder och iduktiosbevis Ur Matematik Origo 5 Talföljder och summor 3.01 101. E talföljd defiieras geom formel a 8 + 6. a) Är det e rekursiv eller e

Läs mer

Funktionsteori Datorlaboration 1

Funktionsteori Datorlaboration 1 Fuktiosteori Datorlaboratio 1 Fuktiosteori vt1 2013 Rekursiosekvatioer och komplex aalys Syftet med datorövige Öviges ädamål är att ge ett smakprov på hur ett datoralgebrasystem ka avädas för att att lösa

Läs mer

Tentamenskrivning, , kl SF1625, Envariabelanalys för CINTE1(IT) och CMIEL1(ME ) (7,5hp)

Tentamenskrivning, , kl SF1625, Envariabelanalys för CINTE1(IT) och CMIEL1(ME ) (7,5hp) KTH-Matematik Tetameskrivig, 2008-0-0, kl. 4.00-9.00 SF625, Evariabelaalys för CITE(IT) och CMIEL(ME ) (7,5h) Prelimiära gräser. Registrerade å kurse SF625 får graderat betyg eligt skala A (högsta betyg),

Läs mer

Föreskrift. om publicering av nyckeltal för elnätsverksamheten. Utfärdad i Helsingfors den 2. december 2005

Föreskrift. om publicering av nyckeltal för elnätsverksamheten. Utfärdad i Helsingfors den 2. december 2005 Dr 1345/01/2005 Föreskrift om publicerig av yckeltal för elätsverksamhete Utfärdad i Helsigfors de 2. december 2005 Eergimarkadsverket har med stöd av 3 kap. 12 3 mom. i elmarkadslage (386/1995) av de

Läs mer

god stiftelsepraxis www.saatiopalvelu.fi

god stiftelsepraxis www.saatiopalvelu.fi god stiftelsepraxis SÄÄTIÖIDEN JA RAHASTOJEN NEUVOTTELUKUNTA RY DELEGATIONEN FÖR STIFTELSER OCH FONDER RF www.saatiopalvelu.fi 1 Cotets God stiftelsepraxis 1 Iledig 3 2 God stiftelsepraxis 3 Stipedier

Läs mer

vara ett polynom där a 0, då kallas n för polynomets grad och ibland betecknas n grad( P(

vara ett polynom där a 0, då kallas n för polynomets grad och ibland betecknas n grad( P( Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom POLYNOM OCH ALGEBRAISKA EKVATIONER Defiitio Polyom är uttrycket av type a a a 0 ( där är ett icke-egativt heltal) Defiitio Låt P( a a a0 vara ett polyom där a 0, då

Läs mer

Konsoliderad version av. Styrelsens för ackreditering och teknisk kontroll föreskrifter (STAFS 1993:18) om EEG-märkning av färdigförpackade varor

Konsoliderad version av. Styrelsens för ackreditering och teknisk kontroll föreskrifter (STAFS 1993:18) om EEG-märkning av färdigförpackade varor Kosoliderad versio av Styrelses för ackrediterig och tekisk kotroll föreskrifter (STAFS 1993:18) om EEG-märkig av färdigförpackade varor Rubrike har dea lydelse geom (STAFS 2008:11) Ädrig iförd: t.o.m.

Läs mer

Introduktion till statistik för statsvetare

Introduktion till statistik för statsvetare "Det fis iget så praktiskt som e bra teori" November 2011 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio Kosekves av stora tales lag Stora tales lag ger att är slumpvariablera X i är oberoede, med e och samma

Läs mer

Tentamen i Elektronik, ESS010, del 2 den 14 dec 2009 klockan 14:00 19:00.

Tentamen i Elektronik, ESS010, del 2 den 14 dec 2009 klockan 14:00 19:00. Tekiska Högskola i Lud Istitutioe för Elektroveteskap Tetame i Elektroik, ESS010, del 2 de 14 dec 2009 klocka 14:00 19:00. Uppgiftera i tetame ger totalt 60p. Uppgiftera är ite ordade på ågot speciellt

Läs mer

Kontrakt baserad design. Design by contract

Kontrakt baserad design. Design by contract Kotrakt baserad desig Desig by cotract Motiverig Objekt ka valige ite avädas på ett godtyckligt sätt Metoder ska aropas med vissa parametervärde I rätt ordig Svårt att veta hur ett objekt ka avädas uta

Läs mer

Resultatet av kryssprodukten i exempel 2.9 ska vara följande: Det vill säga att lika med tecknet ska bytas mot ett plustecken.

Resultatet av kryssprodukten i exempel 2.9 ska vara följande: Det vill säga att lika med tecknet ska bytas mot ett plustecken. Kommetarer till Christer Nybergs bok: Mekaik Statik Kommetarer kapitel 2 Sida 27 Resultatet av kryssprodukte i exempel 2.9 ska vara följade: F1 ( d cos β + h si β ) e z Det vill säga att lika med tecket

Läs mer

c n x n, där c 0, c 1, c 2,... är givna (reella eller n=0 c n x n n=0 absolutkonvergent om x < R divergent om x > R n n lim = 1 R.

c n x n, där c 0, c 1, c 2,... är givna (reella eller n=0 c n x n n=0 absolutkonvergent om x < R divergent om x > R n n lim = 1 R. P Potesserier Med e potesserie mear vi e serie av type c x, där c, c, c,... är giva (reella eller komplexa) kostater, s.k. koefficieter, och där x är e (reell eller komplex) variabel. För varje eskilt

Läs mer

Förfrågan till Klockarens redaktörer

Förfrågan till Klockarens redaktörer Förfråga till Klockares redaktörer 1. Hur öjd är du med Klockare? Ge Klockare ett geerellt vitsord. Atal svarade: 29 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Totalt Medelvär Usel 1 0 2 1 2 5 5 9 3 1 Utmärkt 29 6,72 3,45%

Läs mer

Hambley avsnitt 12.7 (även 7.3 för den som vill läsa lite mer om grindar)

Hambley avsnitt 12.7 (även 7.3 för den som vill läsa lite mer om grindar) 1 Föreläsig 5/11 Hambley avsitt 12.7 (äve 7.3 för de som vill läsa lite mer om gridar) Biära tal Vi aväder ormalt det decimala talsystemet, vilket har base 10. Talet 2083 rereseterar då 2 10 3 0 10 2 8

Läs mer

1. Test av anpassning.

1. Test av anpassning. χ -metode. χ -metode ka avädas för prövig av hypoteser i flera olika slag av problem: om e stokastisk variabel följer e viss saolikhetsfördelig med käda eller okäda parametrar. om två stokastiska variabler

Läs mer

Induktion och Binomialsatsen. Vi fortsätter att visa hur matematiska påståenden bevisas med induktion.

Induktion och Binomialsatsen. Vi fortsätter att visa hur matematiska påståenden bevisas med induktion. Idutio och Biomialsatse Vi fortsätter att visa hur matematisa påståede bevisas med idutio. Defiitio. ( )! = ( över ).!( )! Betydelse av talet studeras seare. Med idutio a vi u visa SATS (Biomialsatse).

Läs mer

Tentamen i Statistik STG A01 (12 hp) 5 mars 2010, kl. 08.15 13.15

Tentamen i Statistik STG A01 (12 hp) 5 mars 2010, kl. 08.15 13.15 Karlstads uiversitet Fakultete för ekoomi, kommuikatio och IT Statistik Tetame i Statistik STG A0 ( hp) 5 mars 00, kl. 08.5 3.5 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formel- och tabellsamlig (skall retureras) samt

Läs mer

2. Konfidensintervall för skillnaden mellan två proportioner.

2. Konfidensintervall för skillnaden mellan två proportioner. Föreläsig 12 LV1, Torsdag 12/10 Upplägg 1. Kofidesitervall för proportioer. 2. Kofidesitervall för skillade mella två proportioer. 3. Grafteori Kofidesitervall för proportioer Atag att vi vill skatta adele

Läs mer

Tommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet

Tommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet Föreläsig 2 Algoritmaalys TDDC70/91: DALG Utskriftsversio av föreläsig i Datastrukturer och algoritmer 5 september 2013 Tommy Färqvist, IDA, Liköpigs uiversitet 2.1 Iehåll Iehåll 1 Aalys av värsta fallet

Läs mer

x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 HL Z x x x

x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 HL Z x x x Uppgift 1 a) Vi iför slackvariabler x 4, x 5 och x 6 och löser problemet med hjälp av simplexalgoritme. Z -2-1 1 0 0 0 0 x 4 1 1-1 1 0 0 20 x 5 2 1 1 0 1 0 30 x 6 1-1 2 0 0 1 10 x 1 blir igåede basvariabel

Läs mer

(a) om vi kan välja helt fritt? (b) om vi vill ha minst en fisk av varje art? (c) om vi vill ha precis 3 olika arter?

(a) om vi kan välja helt fritt? (b) om vi vill ha minst en fisk av varje art? (c) om vi vill ha precis 3 olika arter? Lösigar Grudläggade Diskret matematik 11054 Tid: 1.00-17.00 Telefo: 036-10160, Examiator: F Abrahamsso 1. I de lokala zoo-affäre fis 15 olika fiskarter med mist 0 fiskar utav varje art). På hur måga sätt

Läs mer

Tentamen i EG2050/2C1118 Systemplanering, 14 mars 2009, 8:00 13:00, Q21, Q22

Tentamen i EG2050/2C1118 Systemplanering, 14 mars 2009, 8:00 13:00, Q21, Q22 Tetame i EG2050/2C1118 Systemplaerig, 14 mars 2009, 8:00 13:00, Q21, Q22 Tillåta hjälpmedel Vid dea tetame får följade hjälpmedel avädas: Miiräkare uta iformatio med akytig till kurse. E hadskrive, ekelsidig

Läs mer

Geometriska summor. Aritmetiska summor. Aritmetiska talföljder kallar vi talföljder som. Geometriska talföljder kallar vi talföljder som

Geometriska summor. Aritmetiska summor. Aritmetiska talföljder kallar vi talföljder som. Geometriska talföljder kallar vi talföljder som Aritmetiska summor Aritmetiska talföljder kallar vi talföljder som, 4, 6, 8, 10, 1, 14, 000, 1996, 199, 1988, 0.1, 0., 0.3, 0.4, för vilka differese mella på varadra följade tal kostat. Aritmetiska summor

Läs mer

DEL I. Matematiska Institutionen KTH

DEL I. Matematiska Institutionen KTH 1 Matematiska Istitutioe KTH Lösig till tetamesskrivig på kurse Diskret Matematik, momet A, för D2 och F, SF1631 och SF1630, de 5 jui 2009 kl 08.00-13.00. DEL I 1. (3p) Bestäm e lösig till de diofatiska

Läs mer

Ekvationen (ekv1) kan beskriva en s.k. stationär tillstånd (steady-state) för en fysikalisk process.

Ekvationen (ekv1) kan beskriva en s.k. stationär tillstånd (steady-state) för en fysikalisk process. Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR aplace-ekvatioe APACES EKVATION Vi etraktar följade PDE u, u,, a, ekv1 som kallas aplaces ekvatio Ekvatioe ekv1 ka eskriva e sk statioär tillståd stead-state för e fsikalisk

Läs mer

Remiss Remissvar lämnas i kolumnen Tillstyrkes term och Tillstyrkes def(inition) och eventuella synpunkter skrivs i kolumnen Synpunkter.

Remiss Remissvar lämnas i kolumnen Tillstyrkes term och Tillstyrkes def(inition) och eventuella synpunkter skrivs i kolumnen Synpunkter. 1(10) Svar lämat av (kommu, ladstig, orgaisatio etc.): Remiss Remissvar lämas i kolume Tillstyrkes term och Tillstyrkes (iitio) och evetuella sypukter skrivs i kolume Sypukter. Begreppe redovisas i Socialstyrelses

Läs mer

INSTALLATIONSMANUAL COBRA 8800/8900 CAN

INSTALLATIONSMANUAL COBRA 8800/8900 CAN INSTALLATIONSMANUAL COBRA 8800/8900 CAN DRA UT MITTSEKTIONEN MED INSTALLATIONSSCHEMAT. INNEHÅLL 8808 8805 Larmehet 03CB0364A 10SA0623A Kablage Moterigspåse KA0001STSAA Ultraljudsesorer 04PC3600B 8800USER

Läs mer

Webprogrammering och databaser. Begrepps-modellering. Exempel: universitetsstudier Kravspec. ER-modellen. Exempel: kravspec forts:

Webprogrammering och databaser. Begrepps-modellering. Exempel: universitetsstudier Kravspec. ER-modellen. Exempel: kravspec forts: Webprogrammerig och databaser Koceptuell datamodellerig med Etitets-Relatiosmodelle Begrepps-modellerig Mål: skapa e högivå-specifikatio iformatiosiehållet i database Koceptuell modell är oberoede DBMS

Läs mer

Föreläsning F3 Patrik Eriksson 2000

Föreläsning F3 Patrik Eriksson 2000 Föreläsig F Patrik riksso 000 Y/D trasformatio Det fis ytterligare ett par koppligar som är värda att käa till och kua hatera, ite mist är ma har att göra med trefasät. Dessa kallas stjärkopplig respektive

Läs mer

Jag läser kursen på. Halvfart Helfart

Jag läser kursen på. Halvfart Helfart KOD: Kurskod: PC106/PC145 Kurs 6: Persolighet, hälsa och socialpsykologi (15 hp) Datum: 3/8 014 Hel- och halvfart VT 14 Provmomet: Socialpsykologi + Metod Tillåta hjälpmedel: Miiräkare Asvarig lärare:

Läs mer

1. Ange myndighet och kontaktperson

1. Ange myndighet och kontaktperson Uppföljig av förekligsarbete för år 2017 Filtrerigsvillkor: Villkor: 1: : 1 respodeter valda Respodet ade på: kersti.backma-haerz@aturvardsverket.se 12.01.2018, 13:27-26.02.2018, 09:55 1. Age mydighet

Läs mer

Sannolikhetslära. c 2015 Eric Järpe Högskolan i Halmstad

Sannolikhetslära. c 2015 Eric Järpe Högskolan i Halmstad Saolikhetslära c 201 Eric Järpe Högskola i Halmstad Saolikhetslära hadlar om att mäta hur saolikt (dvs hur ofta ) ma ka förväta sig att ågot iträffar. Därför sorterar saolikhetslära uder de matematiska

Läs mer

För rörformiga instrument, slangar och liknande krävs speciella insatser för genomspolning för att få ett fullgott resultat.

För rörformiga instrument, slangar och liknande krävs speciella insatser för genomspolning för att få ett fullgott resultat. Sida 1 av 6 Avisig för kvalitetssäkrig av spol- och diskdesifektorer 141203 Avisig primärvård Föremål och istrumet avsedda för flergågsbruk ska regöras och desifekteras efter avädig i e värmedesifektor.

Läs mer

Minsta kvadrat-metoden, MK. Maximum likelihood-metoden, ML. Medelfel. E(X i ) = µ i (θ) MK-skattningen av θ fås genom att minimera

Minsta kvadrat-metoden, MK. Maximum likelihood-metoden, ML. Medelfel. E(X i ) = µ i (θ) MK-skattningen av θ fås genom att minimera Matematisk statistik slumpes matematik Saolikhetsteori hur beskriver ma slumpe? Statistikteori vilka slutsatser ka ma dra av ett datamaterial? Statistikteori översikt Puktskattig Hur gör ma e bra gissig

Läs mer

För att minimera de negativa hälsokonsekvenserna av tunnelluft finns i dagsläget tre metoder;

För att minimera de negativa hälsokonsekvenserna av tunnelluft finns i dagsläget tre metoder; MKB till detaljpla Förbifart Stockholm Hälsoeffekter av tuelluft Studier idikerar att oöskade korttidseffekter, blad aat ökat atal iflammatiosmarkörer, börjar uppstå vid e expoerig som motsvaras av tuelluft

Läs mer

Vikingen FutureLook. Delphi Finansanalys AB

Vikingen FutureLook. Delphi Finansanalys AB Vikige FutureLook by Delphi Fiasaalys AB Referesmaual för Vikig FutureLook Översikt Futurelook är ett uikt och mycket kraftfult verktyg för fiasaalytiker och kapitalplacerare. Med FutureLook är det möjligt

Läs mer

TRIBECA Finansutveckling

TRIBECA Finansutveckling TRIBECA Rådgivare iom fiasiella helhetslösigar TRIBECA a s k r e i v g S f a s k r i e v g S f g g r r e e a r a r e e i i f f TRIBECA s målsättig är att bidra med råd & produkter som hela tide gör att

Läs mer

Föreläsning 2: Punktskattningar

Föreläsning 2: Punktskattningar Föreläsig : Puktskattigar Joha Thim joha.thim@liu.se 7 augusti 08 Repetitio Stickprov Defiitio. Låt de stokastiska variablera X, X,..., X vara oberoede och ha samma fördeligsfuktio F. Ett stickprov x,

Läs mer

Lycka till! I(X i t) 1 om A 0 annars I(A) =

Lycka till! I(X i t) 1 om A 0 annars I(A) = Avd Matematisk statistik TENTAMEN I SF955 f d 5B555 DATORINTENSIVA METODER ONSDAGEN DEN AUGUSTI 008 KL 400 900 Examiator: Guar Eglud, tel 790746 Email: guare@mathkthse Tillåta hjälpmedel: Formel- och tabellsamlig

Läs mer

LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER AV HÖGRE ORDNINGEN

LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER AV HÖGRE ORDNINGEN Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF7 LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER AV HÖGRE ORDNINGEN INLEDNING LINJÄRA DIFFERENTIAL EKVATIONER E DE är lijär om de är lijär med avseede å de obekata fuktioe oc dess derivator

Läs mer

Allmänna avtalsvillkor för konsument

Allmänna avtalsvillkor för konsument Godkäare 7.2 Kudakuta Godkät Kommuikatio Distributio Kudservice Kommuikatio, deltagade och samråd Allmäa avtalsvillkor för kosumet för leveras av fjärrvärme Allmäa avtalsvillkor för kosumet för leveras

Läs mer

Tentamen i Kunskapsbaserade system, 5p, Data 3

Tentamen i Kunskapsbaserade system, 5p, Data 3 Kuskapsbaserade system, tetame 2000-03-0 Istitutioe för tekik Tetame i Kuskapsbaserade system, 5p, Data 3 Datum: 2000-03-0 Tid: 8.00-3.00 Lärare: Potus Bergste, 3365 Hjälpmedel: Miiräkare Uppgiftera ska

Läs mer

Handbok i materialstyrning - Del F Prognostisering

Handbok i materialstyrning - Del F Prognostisering Hadbok i materialstyrig - Del F Progostiserig F 71 Absoluta mått på progosfel I lagerstyrigssammahag ka progostiserig allmät defiieras som e bedömig av framtida efterfråga frå kuder. Eftersom det är e

Läs mer

Örserumsviken. Förorenade områden Årsredovisning. Ansvar för sanering av förorenade områden. Årsredovisningslagen och god redovisningssed

Örserumsviken. Förorenade områden Årsredovisning. Ansvar för sanering av förorenade områden. Årsredovisningslagen och god redovisningssed Föroreade område Årsredovisig Örserumsvike Birgit Fleig Auktoriserad revisor Sustaiability Director birgit.fleig@se.ey.com 19 september 2005 1 2 Årsredovisigslage och god redovisigssed Föroreade område

Läs mer

Mätbar vetskap om nuläget och tydliga målbilder om framtiden. Genomför en INDICATOR självvärdering och nulägesanalys inom tre veckor

Mätbar vetskap om nuläget och tydliga målbilder om framtiden. Genomför en INDICATOR självvärdering och nulägesanalys inom tre veckor Mätbar vetskap om uläget och tydliga målbilder om framtide Geomför e INDICATOR självvärderig och ulägesaalys iom tre veckor Självvärderig e del av dokumetatioskravet i ya skollage Skollage ställer också

Läs mer

1. Rita följande tidssekvenser. 2. Givet tidssekvensen x n i nedanstående figur. Rita följande tidssekvenser.

1. Rita följande tidssekvenser. 2. Givet tidssekvensen x n i nedanstående figur. Rita följande tidssekvenser. Lasse Björkma 999 . Rita följade tidssekveser. a) δ e) u b) δ f) u u c) δ + δ g) u d) u h) u. Givet tidssekvese x i edaståede figur. Rita följade tidssekveser. a) x c) x b) x + 3 d) x 3. Givet tidssekvesera

Läs mer

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035 Tetame i Flervariabelaalys F/TM, MV35 8 3 kl. 8.3.3. Hjälpmedel: Iga, ej räkedosa. Telefo: Oskar Hamlet tel 73-8834 För godkät krävs mist 4 poäg. Betyg 3: 4-35 poäg, betyg 4: 36-47 poäg, betyg 5: 48 poäg

Läs mer

Plattformshissar från Cibes Lift för alla byggnader

Plattformshissar från Cibes Lift för alla byggnader Plattformshissar frå Cibes Lift för alla byggader Smarta, säkra och ekla att istallera DESIGN - RELIABILITY - EXPERIENCE Iehåll Om Cibes Lift 3 Kudperspektiv 4 Service och uderhåll 5 Miljöfokus 6 De lilla

Läs mer

Innehåll Grafräknaren och diskret matematik...1 Vad handlar diskret matematik om?...1 Permutationer och kombinationer...3 Något om heltalsräkning...

Innehåll Grafräknaren och diskret matematik...1 Vad handlar diskret matematik om?...1 Permutationer och kombinationer...3 Något om heltalsräkning... Iehåll Grafräkare och diskret matematik...1 Vad hadlar diskret matematik om?...1 Permutatioer och kombiatioer...3 Något om heltalsräkig...4 Modulusoperator...4 Faktoriserig i primfaktorer...5 Talföljder...7

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson Uppsala Uiversitet Matematisa Istitutioe Thomas Erladsso LÄSANVISNINGAR VECKA -5 BINOMIALSATSEN Ett uttryc av forme a + b allas ett biom eftersom det är summa av två moom. För uttrycet (a + b) gäller de

Läs mer

Fourierserien. fortsättning. Ortogonalitetsrelationerna och Parsevals formel. f HtL g HtL t, där T W ã 2 p, PARSEVALS FORMEL

Fourierserien. fortsättning. Ortogonalitetsrelationerna och Parsevals formel. f HtL g HtL t, där T W ã 2 p, PARSEVALS FORMEL Fourierserie fortsättig Ortogoalitetsrelatioera och Parsevals formel Med hjälp av ortogoalitetsrelatioera Y Â m W t, Â W t ] =, m ¹, m = () där Xf, g\ = Ÿ T f HtL g HtL, där W ã p, ka ma bevisa följade

Läs mer

SANNOLIKHETER. Exempel. ( Tärningskast) Vi har sex möjliga utfall 1, 2, 3, 4, 5 och 6. Därför är utfallsrummet Ω = {1, 2, 3, 4, 5,6}.

SANNOLIKHETER. Exempel. ( Tärningskast) Vi har sex möjliga utfall 1, 2, 3, 4, 5 och 6. Därför är utfallsrummet Ω = {1, 2, 3, 4, 5,6}. rmi Halilovic: EXTR ÖVIGR SOLIKHETER GRUDLÄGGDE BEGRE OH BETEKIGR Utfall Resultat av ett slumpmässigt försök. Utfallsrummet ägde av alla utfall (beteckas oftast med Ω ). Hädelse E delmägd av utfallsrummet.

Läs mer

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I G. Gripeberg Mägder och logik Relatioer och fuktioer Aalto-uiversitetet oktober 04 Kombiatorik etc. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret

Läs mer

E F. pn-övergång. Ferminivåns temperaturberoende i n-dopade halvledare. egen ledning. störledning

E F. pn-övergång. Ferminivåns temperaturberoende i n-dopade halvledare. egen ledning. störledning ÖVRGÅNG De eklaste halvledarkomoete är diode. Diode består av e doad och e doad del. Vid kotaktyta mella och doat område ustår ett ire elektriskt fält.g.a. att elektroer i ledigsbadet å sida diffuderar

Läs mer

Hamnbanan Göteborg Dubbelspår Eriksbergsmotet - Pölsebobangården

Hamnbanan Göteborg Dubbelspår Eriksbergsmotet - Pölsebobangården Järvägsutredig med miljökosekvesbeskrivig Hambaa Göteborg Dubbelspår Eriksbergsmotet - Pölsebobagårde Utställigshadlig 2011-03-04 Yta för bild eller möster Titel: Järvägsutredig Hambaa Göteborg dele Eriksbergsmotet

Läs mer

Digital signalbehandling fk Talrepresentation och inverkan av begränsad ordlängd

Digital signalbehandling fk Talrepresentation och inverkan av begränsad ordlängd Istitutioe för data- och elektrotekik 999--9 Talrepresetatio och iverka av begräsad ordlägd Iledig Eftersom register och miesareor i e processor har ett begräsat atal bitar så måste äve de tal som lagras

Läs mer

Hisslösningar från Cibes Lift för alla byggnader

Hisslösningar från Cibes Lift för alla byggnader Hisslösigar frå Cibes Lift för alla byggader Smarta, säkra och ekla att istallera DESIGN - PÅLITLIGHET - ERFARENHET Iehåll Om Cibes Lift 3 Kudperspektiv 4 Service och uderhåll 5 Miljöfokus 6 De lilla plattformshisse

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 26, 9/2 2011: y + ay + by = h(x)

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 26, 9/2 2011: y + ay + by = h(x) Uppsala Uiversitet Matematiska Istitutioe Bo Styf Evariabelaalys, 0 hp STS, X 200-0-27 Föreläsig 26, 9/2 20: Geomgåget på föreläsigara 26-30. Att lösa de ihomogea ekvatioe. De ekvatio vi syftar på är förstås

Läs mer

Sannolikheten. met. A 3 = {2, 4, 6 }, 1 av 11

Sannolikheten. met. A 3 = {2, 4, 6 }, 1 av 11 rmi Halilovic: EXTR ÖVIGR SOLIKHETER GRUDLÄGGDE EGRE OH ETEKIGR Utfall Resultat av ett slumpmässigt försök. Utfallsrummet ägde av alla utfall (beteckas oftast medd Ω ). Hädelse E delmägd av utfallsrumm

Läs mer

D 45. Orderkvantiteter i kanbansystem. 1 Kanbansystem med två kort. Handbok i materialstyrning - Del D Bestämning av orderkvantiteter

D 45. Orderkvantiteter i kanbansystem. 1 Kanbansystem med två kort. Handbok i materialstyrning - Del D Bestämning av orderkvantiteter Hadbok materalstyrg - Del D Bestämg av orderkvatteter D 45 Orderkvatteter kabasystem grupp av materalstyrgsmetoder karakterseras av att behov av materal som uppstår hos e förbrukade ehet mer eller mdre

Läs mer

Produsert for bevegelses hemmede, og er det mest fleksible og variasjonrike alternativ på markedet. Tilpasnings-mulighetene er nesten ubegrensede.

Produsert for bevegelses hemmede, og er det mest fleksible og variasjonrike alternativ på markedet. Tilpasnings-mulighetene er nesten ubegrensede. VÄSTIA DUSJROM Produsert for bevegelses hemmede, og er det mest fleksible og variasjorike alterativ på markedet. Tilpasigs-mulighetee er este ubegresede. HML Hjelpemiddel-leveradøre AS Braderudv. 90, 2015

Läs mer